f(x) = (x³ + 2x - 1)/(x² - x - 6) fonksiyonunun eğik asimptotunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x + 1Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek eğik asimptot kavramını daha iyi anlamanızı sağlayacağım.
Eğik asimptot, bir fonksiyonun $x$ sonsuza giderken yaklaştığı doğruya verilen addır. Rasyonel fonksiyonlarda (yani polinomların bölümü şeklinde yazılabilen fonksiyonlarda), payın derecesi paydanın derecesinden tam olarak 1 fazla ise eğik asimptot bulunur. Bu sorudaki fonksiyonumuz $f(x) = \frac{x^3 + 2x - 1}{x^2 - x - 6}$ da bu duruma uyar.
Eğik asimptotu bulmak için polinom bölmesi yaparız. Yani payı paydaya böleriz:
$x^3 + 2x - 1$ ifadesini $x^2 - x - 6$ ifadesine bölelim.
Bölme işlemi şu şekilde yapılır:
$ \qquad \quad x + 1 \\ x^2 - x - 6 \overline{\smash{\big)}\, x^3 + 0x^2 + 2x - 1} \\ \qquad \underline{-(x^3 - x^2 - 6x)} \\ \qquad \qquad \quad x^2 + 8x - 1 \\ \qquad \qquad \underline{-(x^2 - x - 6)} \\ \qquad \qquad \qquad \quad 9x + 5 $
Bu bölme işleminden sonra bölüm $x + 1$ ve kalan $9x + 5$ olur.
Polinom bölmesi sonucunda elde ettiğimiz bölüm, eğik asimptotun denklemidir. Yani, $y = x + 1$ fonksiyonumuzun eğik asimptotudur.
Kalanın paydaya bölümü ($ \frac{9x+5}{x^2-x-6} $) $x$ sonsuza giderken sıfıra yaklaşır, bu yüzden eğik asimptotu etkilemez.
Bu nedenle, $f(x) = \frac{x^3 + 2x - 1}{x^2 - x - 6}$ fonksiyonunun eğik asimptotunun denklemi $y = x + 1$ dir.
Cevap A seçeneğidir.
