Dönüşüm formülleri (Toplamı çarpıma çevirme) Test 1

cos5α - cos3α ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $-2sin4αsinα$
B) $-2sin4αcosα$
C) $2sin4αsinα$
D) $-2cos4αsinα$

Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için trigonometrideki "farkı çarpıma dönüştürme" formüllerinden birini kullanacağız. Bu tür formüller, karmaşık görünen ifadeleri daha basit hale getirmemize yardımcı olur.

• Adım 1: Kullanılacak Formülü Belirleme

  İfademiz $cosA - cosB$ şeklindedir. Bu tür ifadeleri sadeleştirmek için kullanılan trigonometrik özdeşlik şudur:

  $cosA - cosB = -2sin\left(\frac{A+B}{2}\right)sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$

  Bu formül, iki kosinüsün farkını, iki sinüsün çarpımına dönüştürür.

• Adım 2: $A$ ve $B$ Değerlerini Tanımlama

  Verilen ifadede $cos5\alpha - cos3\alpha$ olduğu için:

  • $A = 5\alpha$
  • $B = 3\alpha$
• Adım 3: Formüldeki Terimleri Hesaplama

  Şimdi $A$ ve $B$ değerlerini formüldeki $\frac{A+B}{2}$ ve $\frac{A-B}{2}$ kısımlarına yerleştirelim:

  • $\frac{A+B}{2} = \frac{5\alpha + 3\alpha}{2} = \frac{8\alpha}{2} = 4\alpha$
  • $\frac{A-B}{2} = \frac{5\alpha - 3\alpha}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$
• Adım 4: Hesaplanan Değerleri Formülde Yerine Koyma

  Bulduğumuz $4\alpha$ ve $\alpha$ değerlerini formüle yerleştirelim:

  $cos5\alpha - cos3\alpha = -2sin(4\alpha)sin(\alpha)$

• Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştırma

  Elde ettiğimiz sadeleştirilmiş ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, doğru seçeneğin A olduğunu görüyoruz.

Cevap A seçeneğidir.