9. Sınıf Sayı Kümelerinin Arada Olma Özelliği Test 7

Reel sayılar kümesinde a < b < c şeklinde sıralanmış üç sayı düşünüldüğünde, b sayısının a ile c arasında olduğu söylenir. Bu özellik hangi sayı kümelerinde her zaman geçerlidir?

A) Yalnızca doğal sayılar
B) Yalnızca tam sayılar
C) Yalnızca rasyonel sayılar
D) Tüm sıralı sayı kümeleri

Bu soruda, $a < b < c$ şeklinde sıralanmış üç sayı verildiğinde $b$ sayısının $a$ ile $c$ arasında olduğu tanımı yapılmıştır. Bu tanımın hangi sayı kümelerinde her zaman geçerli olduğu sorulmaktadır. Bu özelliği adım adım inceleyelim:

• Öncelikle, soruda verilen $a < b < c$ ifadesi, sayıların belirli bir sıraya göre dizildiğini gösterir. Bu sıralama, bir sayı kümesinin "sıralı" olma özelliğinin temelidir. Yani, bir kümedeki elemanlar arasında "küçüktür" ($<$) veya "büyüktür" ($>$) gibi bir ilişki tanımlanabiliyorsa, o küme sıralı bir kümedir.

• Doğal sayılar kümesi ($N$), tam sayılar kümesi ($Z$), rasyonel sayılar kümesi ($Q$) ve reel sayılar kümesi ($R$) gibi tüm temel sayı kümeleri sıralıdır. Bu kümelerdeki herhangi iki farklı sayı arasında bir büyüklük-küçüklük ilişkisi kurulabilir.

• Tanım gereği, eğer $a < b < c$ koşulu sağlanıyorsa, $b$ sayısı $a$ ile $c$ arasındadır. Bu, bir tanım ve bir sıralama ilişkisidir. Bu tanım, doğal sayılar için de, tam sayılar için de, rasyonel sayılar için de ve reel sayılar için de geçerlidir. Örneğin:

  • Doğal sayılarda: $1 < 2 < 3$ ise $2$ sayısı $1$ ile $3$ arasındadır.
  • Tam sayılarda: $-5 < 0 < 5$ ise $0$ sayısı $-5$ ile $5$ arasındadır.
  • Rasyonel sayılarda: $rac{1}{2} < rac{3}{4} < 1$ ise $rac{3}{4}$ sayısı $rac{1}{2}$ ile $1$ arasındadır.
  • Reel sayılarda: $\sqrt{2} < \pi < 4$ ise $\pi$ sayısı $\sqrt{2}$ ile $4$ arasındadır.

• Görüldüğü gibi, bu "arasında olma" özelliği, sayıların sıralanabilme yeteneğine sahip olduğu her kümede geçerlidir. Seçeneklerde verilen doğal sayılar, tam sayılar ve rasyonel sayılar da bu sıralı kümelerin alt kümeleridir. Dolayısıyla, bu özellik yalnızca belirli bir sayı kümesine özgü değildir; sıralı olan tüm sayı kümelerinde geçerlidir.

• "Tüm sıralı sayı kümeleri" ifadesi, bu tanımın ve özelliğin genel geçerliliğini en iyi şekilde yansıtır. Çünkü $a < b < c$ ifadesi zaten bir sıralama ilişkisini ifade eder ve bu ilişkinin var olduğu her yerde $b$'nin $a$ ile $c$ arasında olduğu söylenebilir.

Cevap D seçeneğidir.