ABCD yamuğunda [AB] // [CD] ve köşegenler O noktasında kesişmektedir. AOB ve COD üçgenleri benzerdir. |AO| = 6 cm, |OB| = 4 cm ve |OC| = 9 cm ise |OD| kaç cm'dir?
A) 5Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu çözmek için yamuk ve benzer üçgenler konusundaki bilgimizi kullanacağız. Adım adım ilerleyerek çözümün mantığını kavrayalım.
1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
Bize bir ABCD yamuğu verilmiş. Bu yamukta $[AB]$ kenarı $[CD]$ kenarına paraleldir. Köşegenler (AC ve BD) O noktasında kesişmektedir. En önemli bilgi ise $\triangle AOB$ ve $\triangle COD$ üçgenlerinin benzer olduğudur. Ayrıca kenar uzunlukları verilmiş: $|AO| = 6$ cm, $|OB| = 4$ cm ve $|OC| = 9$ cm. Bizden $|OD|$ uzunluğunu bulmamız isteniyor.
2. Benzer Üçgenlerin Özelliğini Kullanalım:
İki üçgen benzer olduğunda, bu üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları oranları birbirine eşittir. Soruda $\triangle AOB \sim \triangle COD$ olduğu belirtilmiş. Bu benzerlik sırası çok önemlidir. Bu, A köşesinin C köşesine, O köşesinin O köşesine ve B köşesinin D köşesine karşılık geldiği anlamına gelir. Dolayısıyla, karşılıklı kenarların oranları aşağıdaki gibi yazılabilir:
$\frac{|AO|}{|CO|} = \frac{|BO|}{|DO|} = \frac{|AB|}{|CD|}$
3. Bilinen Değerleri Orana Yerleştirelim:
Bizim elimizde $|AO|$, $|OB|$ ve $|OC|$ değerleri var ve $|OD|$'yi bulmak istiyoruz. Bu yüzden ilk iki oranı kullanmamız yeterli olacaktır:
$\frac{|AO|}{|CO|} = \frac{|BO|}{|DO|}$
Verilen değerleri yerine yazalım:
$\frac{6}{9} = \frac{4}{|OD|}$
4. Oranı Sadeleştirelim ve Çözümleyelim:
İlk olarak $\frac{6}{9}$ oranını sadeleştirelim. Her iki sayıyı da 3'e bölersek:
$\frac{2}{3} = \frac{4}{|OD|}$
Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak $|OD|$'yi bulabiliriz:
$2 \times |OD| = 3 \times 4$
$2 \times |OD| = 12$
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
$|OD| = \frac{12}{2}$
$|OD| = 6$ cm
Böylece $|OD|$ uzunluğunu 6 cm olarak bulmuş olduk.
Cevap B seçeneğidir.
