İki doğrunun çakışık olması, aslında bu iki doğrunun aynı doğru olduğu anlamına gelir. Yani, bir doğru denklemi diğerinin sabit bir katı olmalıdır. Matematiksel olarak ifade edersek, $A_1x + B_1y = C_1$ ve $A_2x + B_2y = C_2$ şeklindeki iki doğrunun çakışık olması için katsayıları arasında belirli bir oran olmalıdır.
- Adım 1: Doğruların Denklemlerini Belirleyelim
- Bize verilen birinci doğru denklemi: $2x - y = 4$
- Bize verilen ikinci doğru denklemi: $ax - 2y = 8$
- Adım 2: Çakışık Doğrular İçin Katsayı Oranlarını Hatırlayalım
- İki doğru çakışık ise, $x$'in katsayıları oranı, $y$'nin katsayıları oranı ve sabit terimlerin oranı birbirine eşit olmalıdır. Yani: $ rac{A_1}{A_2} = rac{B_1}{B_2} = rac{C_1}{C_2}$ olmalıdır.
- Adım 3: Denklemlerimizdeki Katsayıları Belirleyelim
- Birinci denklem ($2x - y = 4$) için: $A_1 = 2$, $B_1 = -1$, $C_1 = 4$.
- İkinci denklem ($ax - 2y = 8$) için: $A_2 = a$, $B_2 = -2$, $C_2 = 8$.
- Adım 4: Katsayı Oranlarını Eşitleyelim ve $a$ Değerini Bulalım
- Çakışık olma şartını kullanarak oranları yazalım:
- $ rac{2}{a} = rac{-1}{-2} = rac{4}{8}$
- Şimdi bu oranları ayrı ayrı inceleyelim ve sadeleştirelim:
- $ rac{-1}{-2}$ oranı $ rac{1}{2}$'ye eşittir.
- $ rac{4}{8}$ oranı da $ rac{1}{2}$'ye eşittir.
- Gördüğümüz gibi, $y$'nin katsayıları oranı ile sabit terimlerin oranı birbirine eşit ve $ rac{1}{2}$'dir.
- Şimdi bu oranı $x$'in katsayıları oranına eşitleyelim:
- $ rac{2}{a} = rac{1}{2}$
- Bu denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yapalım:
- $2 \times 2 = a \times 1$
- $4 = a$
- Böylece $a$ değerini $4$ olarak buluruz.
- Adım 5: Sonucu Kontrol Edelim (İsteğe Bağlı)
- Eğer $a=4$ ise, ikinci denklemimiz $4x - 2y = 8$ olur.
- Bu denklemin her tarafını $2$'ye bölersek: $ rac{4x}{2} - rac{2y}{2} = rac{8}{2}$
- Bu da bize $2x - y = 4$ denklemini verir.
- Gördüğümüz gibi, $a=4$ olduğunda iki denklem de aynı denkleme dönüşüyor, bu da doğruların çakışık olduğunu doğrular.
Cevap D seçeneğidir.
