Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Üçgenin ağırlık merkezi ile ilgili önemli bir özelliği hatırlayarak soruyu kolayca çözebiliriz.
- Ağırlık Merkezi Nedir? Bir üçgenin ağırlık merkezi, kenarortaylarının kesişim noktasıdır. Kenarortay, bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğrudur.
- Ağırlık Merkezinin Özelliği: Ağırlık merkezi, kenarortayı 1'e 2 oranında böler. Yani, ağırlık merkezinden köşeye olan uzaklık, ağırlık merkezinden kenarın orta noktasına olan uzaklığın 2 katıdır.
- Şimdi sorumuza dönelim: ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve $|AG| = 8$ cm, $|BG| = 6$ cm olarak verilmiş. Bizden $|GC|$ uzunluğunu bulmamız isteniyor.
- Kenarortayları Çizelim: A köşesinden çizilen kenarortay AG doğrusu üzerinde, B köşesinden çizilen kenarortay BG doğrusu üzerinde ve C köşesinden çizilen kenarortay CG doğrusu üzerindedir.
- Formülü Hatırlayalım: Ağırlık merkezi kenarortayı 1'e 2 oranında böldüğü için, eğer kenarortayın tamamı biliniyorsa, ağırlık merkezine olan uzaklıklar bulunabilir. Ancak bu soruda direkt olarak kenarortay uzunlukları verilmemiş.
- Pisagor Teoremi İle İlişkilendirme (Önemli İpucu): Bu soruyu çözmek için özel bir durumdan yararlanacağız. Eğer $|AG|^2 + |BG|^2 = |GC|^2$ ise, bu durumda $|GC|$ uzunluğunu kolayca bulabiliriz. Bu durum, sorunun özel bir kurgusu sayesinde geçerli oluyor.
- Hesaplama: Verilen değerleri yerine koyalım: $8^2 + 6^2 = |GC|^2$. Yani, $64 + 36 = |GC|^2$ ve buradan $100 = |GC|^2$ olur.
- Sonuç: $|GC|^2 = 100$ ise, $|GC| = \sqrt{100} = 10$ cm'dir.
Bu nedenle, $|GC|$ uzunluğu 10 cm'dir.
Cevap D seçeneğidir.
