Asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2^2 \times 3 \times 7 \) olan sayının pozitif bölenlerinden kaç tanesi çift sayıdır?
A) 6Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek çift sayı olan pozitif bölenlerin sayısını bulalım.
Öncelikle asal çarpanlarına ayrılmış hali verilen sayıyı bulalım. Sayımız $2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 3 \times 7 = 84$ 'tür.
Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısını bulmak için, asal çarpanlarının üslerini 1 artırıp çarparız. Sayımız $2^2 \times 3^1 \times 7^1$ şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış durumda. Üsleri 1 artırıp çarparsak: $(2+1) \times (1+1) \times (1+1) = 3 \times 2 \times 2 = 12$. Yani sayımızın toplam 12 tane pozitif böleni var.
Bir bölenin tek sayı olması için, içinde 2 çarpanı bulunmamalıdır. Bu durumda, $2^2$ çarpanını yok sayarız ve sadece $3^1 \times 7^1$ kısmına bakarız. Tek sayı bölenlerin sayısını bulmak için, bu asal çarpanların üslerini 1 artırıp çarparız: $(1+1) \times (1+1) = 2 \times 2 = 4$. Yani sayımızın 4 tane tek sayı böleni var.
Toplam bölen sayısından tek sayı bölenlerin sayısını çıkarırsak, çift sayı bölenlerin sayısını buluruz. Yani, $12 - 4 = 8$. Bu durumda, sayımızın 8 tane çift sayı böleni vardır.
Cevap B seçeneğidir.
