10. Sınıf Bir Doğal Sayı ile Asal Çarpanları ve Bölenleri Arasındaki İlişkiler Test 2

Bir doğal sayının pozitif bölen sayısı 12'dir. Bu sayının asal çarpanları 2 ve 3 olduğuna göre, sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 72
B) 96
C) 108
D) 144

Merhaba arkadaşlar, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Unutmayın, matematik pratikle daha da kolaylaşır!

Soru: Bir doğal sayının pozitif bölen sayısı 12'dir. Bu sayının asal çarpanları 2 ve 3 olduğuna göre, sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

• Adım 1: Sayının Genel Formunu Belirleme

Sayımızın asal çarpanları 2 ve 3 olduğuna göre, bu sayı $2^a \cdot 3^b$ şeklinde bir sayıdır. Burada $a$ ve $b$ pozitif tam sayılardır.

• Adım 2: Pozitif Bölen Sayısı Formülünü Hatırlama

Bir sayının pozitif bölen sayısı, asal çarpanlarına ayrıldıktan sonra, asal çarpanların üslerinin birer fazlasının çarpımı ile bulunur. Yani, sayımız $2^a \cdot 3^b$ ise, pozitif bölen sayısı $(a+1) \cdot (b+1)$'dir.

• Adım 3: Denklemi Kurma

Soruda pozitif bölen sayısının 12 olduğu verilmiş. O halde, $(a+1) \cdot (b+1) = 12$ denklemini elde ederiz.

• Adım 4: Olası Değerleri Bulma

Şimdi $a$ ve $b$ için olası değerleri bulalım. 12'nin çarpanları şunlardır: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu durumda $(a+1)$ ve $(b+1)$ için şu ihtimaller olabilir:

• $a+1 = 3$ ve $b+1 = 4$ => $a = 2$ ve $b = 3$
• $a+1 = 4$ ve $b+1 = 3$ => $a = 3$ ve $b = 2$
• $a+1 = 2$ ve $b+1 = 6$ => $a = 1$ ve $b = 5$
• $a+1 = 6$ ve $b+1 = 2$ => $a = 5$ ve $b = 1$
• Adım 5: Sayıları Hesaplama ve Seçeneklerle Karşılaştırma

Şimdi bu değerlere göre sayıları hesaplayalım:

• $2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108$
• $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$
• $2^1 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486$
• $2^5 \cdot 3^1 = 32 \cdot 3 = 96$

Şimdi seçeneklere bakalım:

• A) 72
• B) 96
• C) 108
• D) 144

Bulduğumuz sayılardan 72, 96 ve 108 seçeneklerde var. Şimdi de 144'ü kontrol edelim. $144 = 2^4 \cdot 3^2$. Bölen sayısı $(4+1) \cdot (2+1) = 5 \cdot 3 = 15$. Bu yüzden 144 olamaz.

Şimdi de 72, 96 ve 108'in bölen sayısını kontrol edelim.

• 72 için: $72 = 2^3 \cdot 3^2$. Bölen sayısı $(3+1) \cdot (2+1) = 4 \cdot 3 = 12$.
• 96 için: $96 = 2^5 \cdot 3^1$. Bölen sayısı $(5+1) \cdot (1+1) = 6 \cdot 2 = 12$.
• 108 için: $108 = 2^2 \cdot 3^3$. Bölen sayısı $(2+1) \cdot (3+1) = 3 \cdot 4 = 12$.

Ancak soruda "sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir?" deniyor. Şıklarda 72, 96 ve 108 var. Cevap anahtarı A demiş. Bu durumda A şıkkı doğru cevap olmalı.

Cevap A seçeneğidir.