Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) Tüm doğal sayılar tam sayıdır
B) Tüm tam sayılar rasyonel sayıdır
C) Tüm rasyonel sayılar tam sayıdır
D) Tüm doğal sayılar rasyonel sayıdır
Bu soruda, sayı kümeleri arasındaki ilişkileri doğru bir şekilde anlamamız gerekiyor. Sayı kümeleri arasındaki hiyerarşiyi hatırlayarak her bir seçeneği adım adım inceleyelim:
- A) Tüm doğal sayılar tam sayıdır:
Doğal sayılar kümesi $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ (bazı tanımlara göre $1$'den başlar, ancak her iki durumda da sonuç değişmez). Tam sayılar kümesi $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$'dir. Gördüğümüz gibi, tüm doğal sayılar aynı zamanda tam sayılar kümesinin içindedir. Örneğin, $5$ hem doğal sayıdır hem de tam sayıdır. Bu ifade doğrudur.
- B) Tüm tam sayılar rasyonel sayıdır:
Tam sayılar kümesi $\mathbb{Z}$'dir. Rasyonel sayılar kümesi $\mathbb{Q} = \{ \frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \}$ şeklinde ifade edilebilen sayılardır. Herhangi bir tam sayı $a$'yı $\frac{a}{1}$ şeklinde yazabiliriz. Örneğin, $7$ tam sayısı $\frac{7}{1}$ olarak yazılabilir ve bu bir rasyonel sayıdır. Bu ifade doğrudur.
- C) Tüm rasyonel sayılar tam sayıdır:
Rasyonel sayılar kümesi $\mathbb{Q}$ ve tam sayılar kümesi $\mathbb{Z}$'dir. Bu ifadeyi test etmek için bir karşı örnek düşünelim. Örneğin, $\frac{1}{2}$ bir rasyonel sayıdır çünkü $1$ ve $2$ tam sayıdır ve $2 \neq 0$. Ancak $\frac{1}{2}$ bir tam sayı değildir. Benzer şekilde, $0.75$ veya $-\frac{3}{4}$ gibi sayılar rasyoneldir ama tam sayı değildir. Bu ifade yanlıştır.
- D) Tüm doğal sayılar rasyonel sayıdır:
Doğal sayılar kümesi $\mathbb{N}$ ve rasyonel sayılar kümesi $\mathbb{Q}$'dir. Her doğal sayı $n$'yi $\frac{n}{1}$ şeklinde yazabiliriz. Bu da onu bir rasyonel sayı yapar. Örneğin, $4$ doğal sayısı $\frac{4}{1}$ olarak yazılabilir ve bu bir rasyonel sayıdır. Bu ifade doğrudur.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, yanlış olan ifadenin C seçeneği olduğunu görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
