10. Sınıf Benzerlik Oranı ile Alan Arasındaki İlişki Test 2

İki üçgenin benzerlik oranı 2:3'tür. Küçük üçgenin alanı 36 cm² olduğuna göre, büyük üçgenin alanı kaç cm²'dir?

A) 48
B) 54
C) 72
D) 81

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, benzer iki üçgenin alanları arasındaki ilişkiyi kullanacağız. İki üçgen benzer olduğunda, kenar uzunlukları arasındaki oran ile alanları arasındaki oran arasında özel bir bağlantı vardır. Şimdi adım adım çözümümüze geçelim:

• Benzerlik Oranını Anlayalım: Soruda bize iki üçgenin benzerlik oranının $2:3$ olduğu verilmiş. Bu oran, küçük üçgenin bir kenarının uzunluğu 2 birim iken, büyük üçgenin karşılık gelen kenarının uzunluğunun 3 birim olduğu anlamına gelir. Genellikle bu oranı $k$ ile gösteririz, yani $k = \frac{2}{3}$.
• Alanlar Oranı Kuralını Hatırlayalım: Benzer iki üçgenin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Yani, eğer benzerlik oranı $k$ ise, alanlar oranı $k^2$ olacaktır.
  Matematiksel olarak ifade edersek: $\frac{\text{Küçük Üçgenin Alanı}}{\text{Büyük Üçgenin Alanı}} = (\text{Benzerlik Oranı})^2$
• Verilenleri Yerine Yazalım:
  • Küçük üçgenin alanı $A_k = 36 \text{ cm}^2$.
  • Büyük üçgenin alanı $A_b$ (bunu bulacağız).
  • Benzerlik oranı $k = \frac{2}{3}$.

  Şimdi formülümüzde bu değerleri yerine yazalım:

  $\frac{36}{A_b} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$

• Benzerlik Oranının Karesini Hesaplayalım:

  $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$

  Şimdi denklemimiz şu hale geldi:

  $\frac{36}{A_b} = \frac{4}{9}$

• Büyük Üçgenin Alanını Bulalım: Bu denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yapabiliriz veya oran orantı mantığını kullanabiliriz.

  $4 \times A_b = 36 \times 9$

  $4 A_b = 324$

  Şimdi $A_b$'yi bulmak için her iki tarafı 4'e bölelim:

  $A_b = \frac{324}{4}$

  $A_b = 81 \text{ cm}^2$

Buna göre, büyük üçgenin alanı $81 \text{ cm}^2$'dir.

Cevap D seçeneğidir.