Aşağıdaki sayı kümelerinden hangisi sonsuz elemanlı değildir?
A) \( \{ x \mid x \in \mathbb{N}, x < 10 \} \)
B) \( \{ x \mid x \in \mathbb{Z}, x > -5 \} \)
C) \( \{ x \mid x \in \mathbb{Q}, 0 < x < 1 \} \)
D) \( \{ x \mid x \in \mathbb{R}, x^2 = 4 \} \)
Bu soruda, verilen sayı kümelerinden hangisinin sonsuz elemanlı olmadığını, yani sonlu bir küme olduğunu bulmamız isteniyor. Bir kümenin sonlu olması, elemanlarının sayılabilir ve belirli bir adette olması demektir. Sonsuz bir küme ise elemanları sayılabilir olmayan veya sayılabilir olup da sayımı hiç bitmeyen bir kümedir.
- A) $ \{ x \mid x \in \mathbb{N}, x < 10 \} $
- Bu küme, 10'dan küçük olan doğal sayıları ($ \mathbb{N} $) içerir. Doğal sayılar genellikle $ \{1, 2, 3, \dots \} $ veya $ \{0, 1, 2, 3, \dots \} $ olarak tanımlanır.
- Eğer doğal sayıları $ \{1, 2, 3, \dots \} $ olarak alırsak, 10'dan küçük doğal sayılar şunlardır: $ \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} $.
- Eğer doğal sayıları $ \{0, 1, 2, 3, \dots \} $ olarak alırsak, 10'dan küçük doğal sayılar şunlardır: $ \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} $.
- Her iki durumda da bu kümenin eleman sayısı belirli ve sonludur (9 veya 10 elemanlı).
- Dolayısıyla, bu küme sonlu bir kümedir.
- B) $ \{ x \mid x \in \mathbb{Z}, x > -5 \} $
- Bu küme, -5'ten büyük olan tam sayıları ($ \mathbb{Z} $) içerir. Tam sayılar $ \{ \dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots \} $ şeklindedir.
- -5'ten büyük tam sayılar şunlardır: $ \{ -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots \} $.
- Bu küme, pozitif yönde sonsuza kadar devam eder. Eleman sayısı belirli değildir ve sayımı bitmez.
- Dolayısıyla, bu küme sonsuz bir kümedir.
- C) $ \{ x \mid x \in \mathbb{Q}, 0 < x < 1 \} $
- Bu küme, 0 ile 1 arasındaki rasyonel sayıları ($ \mathbb{Q} $) içerir. Rasyonel sayılar, $p/q$ şeklinde yazılabilen sayılardır ($p, q$ tam sayı ve $q \neq 0$).
- 0 ile 1 arasında sonsuz sayıda rasyonel sayı bulunur. Örneğin, $1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, \dots$ gibi. İki farklı rasyonel sayı arasında her zaman başka bir rasyonel sayı bulabiliriz.
- Dolayısıyla, bu küme sonsuz bir kümedir.
- D) $ \{ x \mid x \in \mathbb{R}, x^2 = 4 \} $
- Bu küme, kareleri 4 olan tüm gerçel sayıları ($ \mathbb{R} $) içerir. $x^2 = 4$ denkleminin çözümleri $x = 2$ ve $x = -2$'dir.
- Küme $ \{ -2, 2 \} $ şeklindedir.
- Bu kümenin eleman sayısı 2'dir. Eleman sayısı belirli ve sonludur.
- Dolayısıyla, bu küme de sonlu bir kümedir.
Soru, sonsuz elemanlı olmayan kümeyi (yani sonlu kümeyi) sormaktadır. Yukarıdaki analizlerimize göre A seçeneğindeki küme sonlu bir kümedir.
Cevap A seçeneğidir.
