Üçgende diklik merkezi özellikleri nedir? Test 2

Bir ABC üçgeninin diklik merkezi H'dir. |AB| = 13 cm, |AC| = 14 cm, |BC| = 15 cm olduğuna göre, A köşesinden çizilen yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?

A) 10
B) 11
C) 12
D) 13

Bu soruda, kenar uzunlukları verilen bir üçgenin bir köşesinden çizilen yüksekliğin uzunluğunu bulmamız isteniyor. Üçgenin diklik merkezi bilgisi, yüksekliğin tanımını bildiğimiz sürece doğrudan çözüm için gerekli değildir, ancak üçgenin bir diklik merkezi olduğunu belirtir.

• 1. Adım: Üçgenin Kenar Uzunluklarını Belirleme

  ABC üçgeninin kenar uzunlukları şunlardır: $|AB| = c = 13$ cm, $|AC| = b = 14$ cm, $|BC| = a = 15$ cm.

• 2. Adım: Üçgenin Yarı Çevresini Hesaplama

  Üçgenin alanını Heron formülü ile bulmak için öncelikle yarı çevresini ($s$) hesaplamamız gerekir. Yarı çevre formülü $s = \frac{a+b+c}{2}$'dir.

  $s = \frac{15 + 14 + 13}{2} = \frac{42}{2} = 21$ cm

• 3. Adım: Üçgenin Alanını Hesaplama (Heron Formülü)

  Üç kenar uzunluğu bilinen bir üçgenin alanı Heron formülü ile hesaplanır: $Alan = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

  Değerleri hesaplayalım: $s-a = 21 - 15 = 6$, $s-b = 21 - 14 = 7$, $s-c = 21 - 13 = 8$.

  Şimdi bu değerleri Heron formülünde yerine koyalım:

  $Alan = \sqrt{21 \times 6 \times 7 \times 8}$

  $Alan = \sqrt{(3 \times 7) \times (2 \times 3) \times 7 \times (2^3)}$

  $Alan = \sqrt{2^4 \times 3^2 \times 7^2}$

  $Alan = 2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 3 \times 7 = 84$ cm$^2$

• 4. Adım: A Köşesinden Çizilen Yüksekliği Hesaplama ($h_a$)

  Bir üçgenin alanı aynı zamanda $Alan = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}$ formülüyle de bulunur. A köşesinden çizilen yükseklik ($h_a$) için taban BC kenarıdır ($a=15$ cm).

  $84 = \frac{1}{2} \times 15 \times h_a$

  $168 = 15 \times h_a$

  $h_a = \frac{168}{15} = \frac{56}{5} = 11.2$ cm

• 5. Adım: Sonucu Değerlendirme ve Seçeneklerle Karşılaştırma

  A köşesinden çizilen yüksekliğin uzunluğunu $11.2$ cm olarak bulduk. Ancak verilen seçeneklerde $11.2$ değeri bulunmamaktadır (A) 10, B) 11, C) 12, D) 13).

  Bu durumda, sorunun "A köşesinden çizilen yükseklik" ifadesinde bir yazım hatası olabileceğini ve aslında başka bir köşeden çizilen yüksekliğin sorulmuş olabileceğini düşünebiliriz. Seçeneklerdeki tam sayı değerlerini göz önünde bulundurarak diğer yükseklikleri kontrol edelim.

• 6. Adım: Diğer Yükseklikleri Kontrol Etme

  B köşesinden AC kenarına çizilen yükseklik ($h_b$): Taban $b = |AC| = 14$ cm.

  $Alan = \frac{1}{2} \times b \times h_b$

  $84 = \frac{1}{2} \times 14 \times h_b$

  $84 = 7 \times h_b$

  $h_b = \frac{84}{7} = 12$ cm

  Bu değer, C seçeneğinde verilen $12$ cm ile eşleşmektedir. Bu durum, soruda "A köşesinden çizilen yükseklik" yerine "B köşesinden çizilen yükseklik" veya "AC kenarına ait yükseklik" kastedilmiş olabileceğini göstermektedir.

  C köşesinden AB kenarına çizilen yükseklik ($h_c$) için:

  $Alan = \frac{1}{2} \times c \times h_c$

  $84 = \frac{1}{2} \times 13 \times h_c$

  $168 = 13 \times h_c$

  $h_c = \frac{168}{13} \approx 12.92$ cm

Seçenekler arasında sadece $h_b = 12$ cm değeri bulunmaktadır. Bu nedenle, sorunun amacının bu yükseklik olduğunu varsayarak cevabı işaretliyoruz.

Cevap C seçeneğidir.