İrrasyonel sayılar kümesi sıralı mıdır Test 2

İrrasyonel sayılar kümesi üzerinde "<" ilişkisi verildiğinde, aşağıdaki özelliklerden hangisi bu küme için her zaman doğru değildir?

A) Herhangi iki irrasyonel sayı karşılaştırılabilir
B) Geçişlilik özelliği vardır
C) Simetri özelliği vardır
D) Antisimetri özelliği vardır

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, irrasyonel sayılar kümesi üzerindeki bir ifadeyi veya sayıyı belirlememiz isteniyor. Öncelikle irrasyonel sayıların ne olduğunu hatırlayalım ve ardından seçenekleri (varsayımsal olarak) inceleyelim.

• İrrasyonel Sayı Nedir?

  İrrasyonel sayılar, rasyonel olmayan sayılardır. Yani, $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, $rac{a}{b}$ şeklinde yazılamayan sayılardır. İrrasyonel sayıların ondalık gösterimleri devirli değildir ve sonsuza kadar devam eder. En bilinen örnekleri $\pi$ (pi sayısı), $e$ (Euler sayısı) ve karekök içinden tam olarak çıkamayan sayılardır (örneğin $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ gibi).

• Rasyonel Sayı Nedir?

  Rasyonel sayılar ise $rac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır. Ondalık gösterimleri ya sonludur (örneğin $0.5 = rac{1}{2}$) ya da devirlidir (örneğin $0.333... = rac{1}{3}$). Tüm tam sayılar, doğal sayılar ve kesirli sayılar rasyoneldir.

• Seçeneklerin İncelenmesi (Varsayımsal Örnekler Üzerinden):

  Soruda seçenekler belirtilmediği için, bu tür sorularda sıkça karşılaşılan tipik seçenekleri varsayarak ilerleyelim. Genellikle seçenekler arasında hem rasyonel hem de irrasyonel sayılar bulunur ve bizden irrasyonel olanı bulmamız istenir.

  • A seçeneği: $0.5$ gibi bir sayı olsaydı.

    Bu sayı $rac{1}{2}$ olarak yazılabilir. Dolayısıyla rasyonel bir sayıdır.

  • B seçeneği: $\sqrt{4}$ gibi bir sayı olsaydı.

    Bu sayı, karekök dışına $2$ olarak çıkar. $2$ sayısı da $rac{2}{1}$ olarak yazılabildiği için rasyonel bir sayıdır.

  • C seçeneği: $\sqrt{3}$ gibi bir sayı olsaydı.

    Bu sayı, karekök dışına tam olarak çıkmaz. Yani, karesi $3$ olan bir tam sayı yoktur. $\sqrt{3}$'ün ondalık açılımı $1.7320508...$ şeklinde devirli olmayan ve sonsuza kadar devam eden bir sayıdır. Bu nedenle $\sqrt{3}$ bir irrasyonel sayıdır.

  • D seçeneği: $rac{1}{3}$ gibi bir sayı olsaydı.

    Bu sayı zaten $rac{a}{b}$ şeklinde yazılmıştır. Ondalık açılımı $0.333...$ (devirli) olduğu için rasyonel bir sayıdır.

  • E seçeneği: $-2$ gibi bir sayı olsaydı.

    Bu sayı, $rac{-2}{1}$ olarak yazılabildiği için rasyonel bir sayıdır.

• Sonuç:

  Yukarıdaki varsayımsal incelemeye göre, sadece C seçeneğindeki $\sqrt{3}$ sayısı irrasyonel sayı tanımına uymaktadır. Karekök içinden tam olarak çıkamayan sayılar (tam kare olmayan sayıların karekökleri) her zaman irrasyoneldir.

Cevap C seçeneğidir.