Üçgende yükseklik soruları Test 2

Bir dik üçgenin dik kenarları 9 cm ve 12 cm'dir. Hipotenüse ait yükseklik kaç cm'dir?

A) 6.8
B) 7.2
C) 7.5
D) 8.1

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir dik üçgenin dik kenarları verilmiş ve hipotenüse ait yüksekliği bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözerken genellikle iki temel geometri bilgisini kullanırız: Pisagor Teoremi ve üçgenin alan formülü. Haydi adım adım bu soruyu çözelim!

• 1. Adım: Hipotenüsün Uzunluğunu Bulalım

• Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları biliniyorsa, hipotenüsün uzunluğunu Pisagor Teoremi ile bulabiliriz. Pisagor Teoremi der ki: "Dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir."

  Dik kenarlarımız $a = 9$ cm ve $b = 12$ cm olsun. Hipotenüsümüzü $c$ ile gösterelim.

  Pisagor Teoremi: $a^2 + b^2 = c^2$

  Değerleri yerine yazalım:

  $9^2 + 12^2 = c^2$

  $81 + 144 = c^2$

  $225 = c^2$

  Her iki tarafın karekökünü alarak $c$ değerini buluruz:

  $c = \sqrt{225}$

  $c = 15$ cm.

  Demek ki, üçgenimizin hipotenüsü $15$ cm uzunluğundadır.

• 2. Adım: Üçgenin Alanını Hesaplayalım

• Bir üçgenin alanı, taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Dik üçgenlerde, dik kenarlar birbirine dik olduğu için, bir dik kenarı taban kabul edersek diğer dik kenar o tabana ait yükseklik olur.

  Alan $= rac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}$

  Dik kenarlarımız $9$ cm ve $12$ cm olduğuna göre:

  Alan $= rac{1}{2} \times 9 \times 12$

  Alan $= rac{1}{2} \times 108$

  Alan $= 54$ $cm^2$.

  Üçgenimizin alanı $54$ $cm^2$'dir.

• 3. Adım: Hipotenüse Ait Yüksekliği Bulalım

• Üçgenin alanını bulmak için farklı tabanlar ve onlara ait yükseklikleri kullanabiliriz. Biz zaten üçgenin alanını $54$ $cm^2$ olarak bulduk ve hipotenüsün uzunluğunu da $15$ cm olarak biliyoruz. Şimdi hipotenüsü taban olarak kabul edip, ona ait yüksekliği ($h$) bulmak için alan formülünü tekrar kullanalım.

  Alan $= rac{1}{2} \times \text{hipotenüs} \times h$

  Bulduğumuz değerleri yerine yazalım:

  $54 = rac{1}{2} \times 15 \times h$

  Denklemi çözmek için her iki tarafı $2$ ile çarpalım:

  $54 \times 2 = 15 \times h$

  $108 = 15 \times h$

  Şimdi $h$'yi yalnız bırakmak için her iki tarafı $15$'e bölelim:

  $h = rac{108}{15}$

  Bu kesri sadeleştirebiliriz. Hem $108$ hem de $15$, $3$'e bölünebilir:

  $h = rac{108 \div 3}{15 \div 3}$

  $h = rac{36}{5}$

  Kesri ondalık sayıya çevirelim:

  $h = 7.2$ cm.

  Böylece hipotenüse ait yüksekliğin $7.2$ cm olduğunu bulmuş olduk.

Cevap B seçeneğidir.