9. Sınıf f(x) = x şeklinde tanımlı doğrusal referans fonksiyon Test 2

f(x) = x fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A) Görüntü kümesi negatif reel sayılardır
B) Birebir ve örtendir
C) Azalan bir fonksiyondur
D) Maksimum değeri 1'dir

Sevgili öğrenciler, $f(x) = x$ fonksiyonunun özelliklerini adım adım inceleyelim ve doğru ifadeyi bulalım.

• A) Görüntü kümesi negatif reel sayılardır

  Görüntü kümesi (ya da değer kümesi), bir fonksiyonun alabileceği tüm $y$ değerlerinin kümesidir. $f(x) = x$ fonksiyonu için, $x$ yerine herhangi bir reel sayı koyduğumuzda, sonuç da o reel sayının kendisi olur. Örneğin, $x=5$ için $f(5)=5$, $x=-3$ için $f(-3)=-3$ olur. Bu fonksiyon hem pozitif, hem negatif, hem de sıfır değerini alabilir. Dolayısıyla, görüntü kümesi tüm reel sayılardır ($\mathbb{R}$). Negatif reel sayılar sadece görüntü kümesinin bir kısmıdır. Bu ifade yanlıştır.

• B) Birebir ve örtendir
  • Birebir (Injective) olma durumu: Bir fonksiyonun birebir olması için, tanım kümesindeki farklı her $x$ değeri için görüntü kümesinde de farklı $f(x)$ değerleri olması gerekir. Yani, eğer $f(x_1) = f(x_2)$ ise, bu ancak $x_1 = x_2$ olduğunda mümkündür. $f(x) = x$ fonksiyonunda, eğer $x_1 = x_2$ ise $f(x_1) = f(x_2)$ olur. Tersine, eğer $f(x_1) = f(x_2)$ ise, $x_1 = x_2$ olmak zorundadır. Bu nedenle, $f(x) = x$ fonksiyonu birebirdir.
  • Örten (Surjective) olma durumu: Bir fonksiyonun örten olması için, görüntü kümesindeki her elemanın tanım kümesindeki en az bir elemanla eşleşmesi gerekir. Yani, değer kümesindeki her $y$ elemanı için, tanım kümesinde en az bir $x$ elemanı olmalı ve $f(x) = y$ eşitliğini sağlamalıdır. $f(x) = x$ fonksiyonunda, herhangi bir reel sayı $y$ için, $x=y$ seçtiğimizde $f(x) = f(y) = y$ olur. Bu da demektir ki, değer kümesindeki her reel sayıya karşılık gelen bir $x$ değeri vardır. Bu nedenle, $f(x) = x$ fonksiyonu örtendir.

  Hem birebir hem de örten olduğu için, bu ifade doğrudur.

• C) Azalan bir fonksiyondur

  Bir fonksiyonun azalan olması için, $x$ değerleri arttıkça $f(x)$ değerlerinin azalması gerekir. Yani, eğer $x_1 < x_2$ ise $f(x_1) > f(x_2)$ olmalıdır. $f(x) = x$ fonksiyonunda, $x$ değerleri arttıkça $f(x)$ değerleri de artar. Örneğin, $x=2$ için $f(2)=2$, $x=5$ için $f(5)=5$. Görüldüğü gibi $2 < 5$ iken $f(2) < f(5)$'tir. Bu fonksiyon artan bir fonksiyondur. Bu ifade yanlıştır.

• D) Maksimum değeri 1'dir

  $f(x) = x$ fonksiyonu, $x$ yerine koyabileceğimiz herhangi bir reel sayı için o sayının kendisini verir. Bu fonksiyonun değeri $-\infty$ (eksi sonsuz) ile $+\infty$ (artı sonsuz) arasında değişebilir. Yani, herhangi bir üst sınırı veya alt sınırı yoktur. Dolayısıyla, bir maksimum değeri (veya minimum değeri) yoktur. Bu ifade yanlıştır.

Yukarıdaki analizler sonucunda, doğru ifadenin B seçeneği olduğu açıkça görülmektedir.

Cevap B seçeneğidir.