Bir araştırmacı, bir bakteri populasyonunun her saat başı iki katına çıktığını gözlemliyor. Başlangıçta 100 bakteri olduğuna göre, 5 saat sonra kaç bakteri olacağını bulmak için hangi matematiksel ifade kullanılır?
A) \( 100 + (5 \times 2) \)
B) \( 100 \times 2^5 \)
C) \( 100 \times 5^2 \)
D) \( 100 \times (2 + 5) \)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir bakteri popülasyonunun zamanla nasıl büyüdüğünü anlamamız ve bu büyümeyi ifade eden matematiksel modeli bulmamız isteniyor. Adım adım inceleyelim:
- Başlangıç Durumu: Araştırmacı başlangıçta 100 bakteri olduğunu gözlemliyor. Bu bizim başlangıç değerimizdir.
- Büyüme Oranı: Bakteri popülasyonu her saat başı iki katına çıkıyor. "İki katına çıkmak" demek, mevcut sayıyı 2 ile çarpmak demektir.
- 1. Saatin Sonu: Başlangıçta 100 bakteri vardı. 1 saat sonra bu sayı iki katına çıkacak. Yani $100 \times 2$ bakteri olur.
- 2. Saatin Sonu: 1. saatin sonunda $100 \times 2$ bakteri vardı. 2. saatin sonunda bu sayı tekrar iki katına çıkacak. Yani $(100 \times 2) \times 2 = 100 \times 2^2$ bakteri olur.
- 3. Saatin Sonu: 2. saatin sonunda $100 \times 2^2$ bakteri vardı. 3. saatin sonunda bu sayı tekrar iki katına çıkacak. Yani $(100 \times 2^2) \times 2 = 100 \times 2^3$ bakteri olur.
- Genel Kuralı Bulma: Bu deseni fark ettiniz mi? Her saat sonunda, başlangıçtaki bakteri sayısı, geçen saat sayısı kadar 2'nin kuvvetiyle çarpılıyor. Eğer $t$ saat geçerse, bakteri sayısı $100 \times 2^t$ olur. Bu tür büyümeye üstel büyüme denir.
- 5 Saatin Sonu: Soru bizden 5 saat sonraki durumu bulmamızı istiyor. Yukarıdaki genel kuralı kullanarak, $t=5$ için ifadeyi yazabiliriz: $100 \times 2^5$.
- Seçenekleri İnceleme: Şimdi bulduğumuz bu ifadeyi seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $100 + (5 \times 2)$: Bu, başlangıç sayısına 5'in 2 katını eklemek anlamına gelir, üstel büyümeyi ifade etmez.
- B) $100 \times 2^5$: Bu, bizim bulduğumuz ifadeyle tamamen aynıdır. Başlangıç sayısının, 5 kez 2 ile çarpılması (yani 2'nin 5. kuvvetiyle çarpılması) anlamına gelir.
- C) $100 \times 5^2$: Bu, başlangıç sayısının 5'in karesiyle ($5 \times 5 = 25$) çarpılması anlamına gelir, 2 katına çıkmayı ifade etmez.
- D) $100 \times (2 + 5)$: Bu, başlangıç sayısının 7 ile çarpılması anlamına gelir, üstel büyümeyi ifade etmez.
Doğru matematiksel ifade, başlangıçtaki bakteri sayısının, her saat iki katına çıkma prensibine göre 5 saat sonraki durumunu gösteren üstel ifade olan $100 \times 2^5$'tir.
Cevap B seçeneğidir.
