Birim çember üzerinde \( \theta = \frac{5\pi}{3} \) açısına karşılık gelen noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)Merhaba sevgili öğrenciler!
Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarını bulmak, trigonometrinin temel konularından biridir. Bu soruda, $ \theta = \frac{5\pi}{3} $ açısına karşılık gelen noktanın koordinatlarını adım adım bulacağız.
1. Adım: Birim Çember ve Koordinatlar Arasındaki İlişkiyi Hatırlayalım
Birim çember üzerinde bir $ \theta $ açısına karşılık gelen noktanın koordinatları her zaman $ (\cos \theta, \sin \theta) $ şeklindedir. Yani, $x$-koordinatı $ \cos \theta $ ve $y$-koordinatı $ \sin \theta $ değerine eşittir.
2. Adım: Verilen Açıyı Derece Cinsinden Düşünelim (İsteğe Bağlı Ama Faydalı)
Açı $ \theta = \frac{5\pi}{3} $ radyan olarak verilmiştir. Radyan ölçüsünü dereceye çevirmek, açının hangi bölgede olduğunu ve referans açısını daha kolay görselleştirmemize yardımcı olabilir. $ \pi $ radyanın $ 180^\circ $ olduğunu biliyoruz.
$ \theta = \frac{5\pi}{3} = \frac{5 \times 180^\circ}{3} = 5 \times 60^\circ = 300^\circ $.
3. Adım: Açının Hangi Bölgede Olduğunu Belirleyelim
$ 300^\circ $ açısı, $ 270^\circ $ ile $ 360^\circ $ arasındadır. Bu da açının 4. bölgede olduğunu gösterir.
4. bölgede $x$-koordinatı (kosinüs değeri) pozitif, $y$-koordinatı (sinüs değeri) ise negatiftir.
4. Adım: Referans Açısını (Esas Ölçüyü) Bulalım
4. bölgedeki bir açının referans açısı, $ 360^\circ $ (veya $ 2\pi $ radyan) ile açının kendisi arasındaki farktır. Bu, açının x-ekseni ile yaptığı dar açıdır.
Referans açısı $ \alpha = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ $.
Radyan cinsinden: $ \alpha = 2\pi - \frac{5\pi}{3} = \frac{6\pi - 5\pi}{3} = \frac{\pi}{3} $.
5. Adım: Referans Açısının Sinüs ve Kosinüs Değerlerini Bulalım
$ 60^\circ $ (veya $ \frac{\pi}{3} $) açısının trigonometrik değerleri şunlardır:
$ \cos(60^\circ) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $
$ \sin(60^\circ) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
6. Adım: Bölge İşaretlerini Uygulayarak Koordinatları Belirleyelim
Açı 4. bölgede olduğu için:
$x$-koordinatı (kosinüs) pozitif olacaktır: $ \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = +\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $
$y$-koordinatı (sinüs) negatif olacaktır: $ \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $
Buna göre, $ \theta = \frac{5\pi}{3} $ açısına karşılık gelen noktanın koordinatları $ \left( \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) $ şeklindedir.
Bu koordinatlar seçeneklere baktığımızda B seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
