a, b, c birer gerçek sayı olmak üzere, a < b ve c < 0 veriliyor. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?
A) ac < bcBu soruda, $a$, $b$, $c$ birer gerçek sayı olmak üzere, $a < b$ ve $c < 0$ eşitsizlikleri verilmiştir. Bu bilgilere dayanarak hangi ifadenin her zaman doğru olduğunu bulmamız isteniyor. Eşitsizliklerde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin nasıl davrandığını hatırlayarak seçenekleri tek tek inceleyelim.
A) $ac < bc$
Başlangıçta $a < b$ eşitsizliğimiz var. Bu eşitsizliğin her iki tarafını $c$ ile çarpıyoruz. $c$ sayısının sıfırdan küçük (negatif) olduğu bilgisi verilmiştir ($c < 0$). Eşitsizliklerde negatif bir sayı ile çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizliğin yönü değişir (ters döner).
Yani, $a < b$ ifadesini $c < 0$ ile çarptığımızda:
$a \cdot c > b \cdot c$ olur.
Bu durumda $ac < bc$ ifadesi her zaman doğru değildir; aslında tam tersi ($ac > bc$) doğrudur.
B) $a + c < b + c$
Başlangıçta $a < b$ eşitsizliğimiz var. Bu eşitsizliğin her iki tarafına $c$ sayısını ekliyoruz. Eşitsizliklerde herhangi bir sayıyı (pozitif veya negatif fark etmez) her iki tarafa eklediğimizde veya çıkardığımızda eşitsizliğin yönü değişmez.
Yani, $a < b$ ifadesine $c$ eklediğimizde:
$a + c < b + c$ olur.
Bu ifade her zaman doğrudur.
C) $a/c < b/c$
Başlangıçta $a < b$ eşitsizliğimiz var. Bu eşitsizliğin her iki tarafını $c$ ile bölüyoruz. $c$ sayısının sıfırdan küçük (negatif) olduğu bilgisi verilmiştir ($c < 0$). Eşitsizliklerde negatif bir sayı ile çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizliğin yönü değişir (ters döner).
Yani, $a < b$ ifadesini $c < 0$ ile böldüğümüzde:
$a / c > b / c$ olur.
Bu durumda $a/c < b/c$ ifadesi her zaman doğru değildir; aslında tam tersi ($a/c > b/c$) doğrudur.
D) $a^2c < b^2c$
Bu ifadeyi incelemek için $a < b$ ve $c < 0$ koşullarını sağlayan bazı örnekler düşünelim.
Örnek 1: $a = 1$, $b = 2$ ve $c = -1$ olsun. ($1 < 2$ ve $-1 < 0$ koşulları sağlanır.)
Bu durumda $a^2c$ değerini hesaplayalım: $a^2c = (1)^2 \cdot (-1) = 1 \cdot (-1) = -1$.
Şimdi $b^2c$ değerini hesaplayalım: $b^2c = (2)^2 \cdot (-1) = 4 \cdot (-1) = -4$.
Burada $a^2c < b^2c$ ifadesi $-1 < -4$ anlamına gelir ki bu yanlıştır (çünkü $-1 > -4$).
Bu ifade her zaman doğru değildir. Örneğin, $a$ ve $b$ pozitifken $a < b \implies a^2 < b^2$ olur. $c < 0$ ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir: $a^2c > b^2c$. Dolayısıyla $a^2c < b^2c$ ifadesi bu durumda yanlış olur.
Eğer $a$ ve $b$ negatif olsaydı, örneğin $a = -3$, $b = -1$ ve $c = -1$ olsaydı: ($-3 < -1$ ve $-1 < 0$ koşulları sağlanır.)
Bu durumda $a^2c$ değerini hesaplayalım: $a^2c = (-3)^2 \cdot (-1) = 9 \cdot (-1) = -9$.
Şimdi $b^2c$ değerini hesaplayalım: $b^2c = (-1)^2 \cdot (-1) = 1 \cdot (-1) = -1$.
Burada $a^2c < b^2c$ ifadesi $-9 < -1$ anlamına gelir ki bu doğrudur.
Ancak, bir ifadenin "her zaman doğru" olması için tüm olası durumlar için doğru olması gerekir. İlk örneğimizde yanlış çıktığı için bu ifade her zaman doğru değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece B seçeneğindeki ifadenin her zaman doğru olduğu görülmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
