Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = x² - 6x + m fonksiyonunun grafiği x eksenine teğet olduğuna göre, m kaçtır?
A) 6Sevgili öğrenciler, bu soruda bir parabolün x eksenine teğet olma durumunu inceleyeceğiz. Bir parabolün x eksenine teğet olması ne anlama gelir, gelin birlikte adım adım öğrenelim.
Bir parabolün grafiği x eksenine teğet ise, bu parabolün x eksenini sadece bir noktada kestiği anlamına gelir. Matematiksel olarak ifade edersek, $f(x) = 0$ denkleminin sadece bir tane gerçek kökü (çakışık iki kök, yani bir çift katlı kök) vardır. Bu durum, parabolün tepe noktasının x ekseni üzerinde olduğu anlamına da gelir.
Genel bir ikinci dereceden denklem $ax^2 + bx + c = 0$ için köklerin varlığı ve sayısı diskriminant ($\Delta$) ile belirlenir. Diskriminant formülü $\Delta = b^2 - 4ac$'dir.
Bir ikinci dereceden denklemin bir tane gerçek kökü olabilmesi için diskriminantın sıfıra eşit olması gerekir ($\Delta = 0$). Eğer $\Delta > 0$ olsaydı denklemin iki farklı gerçek kökü olurdu (parabol x eksenini iki farklı noktada keserdi). Eğer $\Delta < 0$ olsaydı denklemin hiç gerçek kökü olmazdı (parabol x eksenini kesmezdi). Soruda verilen bilgiye göre, fonksiyonun grafiği x eksenine teğet olduğuna göre, diskriminant $\Delta$ sıfıra eşit olmalıdır.
Verilen fonksiyon $f(x) = x^2 - 6x + m$ şeklindedir. Bu fonksiyonu genel $ax^2 + bx + c$ formuyla karşılaştırırsak:
$a = 1$ (çünkü $x^2$'nin katsayısı 1'dir)
$b = -6$ (çünkü $x$'in katsayısı -6'dır)
$c = m$ (çünkü sabit terim $m$'dir)
Şimdi diskriminant formülünü kullanarak $m$ değerini bulalım:
$\Delta = b^2 - 4ac$
$\Delta = (-6)^2 - 4(1)(m)$
$\Delta = 36 - 4m$
Parabol x eksenine teğet olduğu için $\Delta = 0$ olmalıdır:
$36 - 4m = 0$
$36 = 4m$
$m = \frac{36}{4}$
$m = 9$
Buna göre, $m$ değeri $9$ olmalıdır.
Cevap B seçeneğidir.
