f(x) = x² - 2x - 8 fonksiyonunun grafiği x eksenini A ve B noktalarında kesmektedir. Buna göre, |AB| uzunluğu kaç birimdir?
A) 4Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir parabolün x eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklığı bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
Bir fonksiyonun grafiği x eksenini kestiği noktalarda, o noktanın $y$ değeri her zaman $0$ olur. Yani, $f(x) = 0$ denklemini çözerek bu kesişim noktalarının $x$ koordinatlarını buluruz. Fonksiyonumuz $f(x) = x^2 - 2x - 8$ olduğuna göre, $x^2 - 2x - 8 = 0$ denklemini çözmeliyiz.
Şimdi $x^2 - 2x - 8 = 0$ denklemini çözmemiz gerekiyor. Bu bir ikinci dereceden denklemdir ve çarpanlara ayırma yöntemiyle kolayca çözebiliriz. Çarpımları $-8$ ve toplamları $-2$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $-4$ ve $2$'dir.
Denklemi şu şekilde çarpanlarına ayırabiliriz:
$(x - 4)(x + 2) = 0$
Bu denklemin kökleri (yani $x$ değerleri) şunlardır:
Bu $x_1$ ve $x_2$ değerleri, grafiğin x eksenini kestiği A ve B noktalarının $x$ koordinatlarıdır. Yani, A noktasının koordinatı $(4, 0)$ ve B noktasının koordinatı $(-2, 0)$'dır (veya tam tersi, sıralama önemli değildir).
A ve B noktaları x ekseni üzerinde olduğu için, bu iki nokta arasındaki uzaklık, sadece $x$ koordinatlarının farkının mutlak değeri alınarak bulunur. Çünkü $y$ koordinatları her iki nokta için de $0$'dır.
Uzaklık formülü $|AB| = |x_1 - x_2|$ şeklindedir.
Bulduğumuz $x$ değerlerini yerine yazalım:
$|AB| = |4 - (-2)|$
$|AB| = |4 + 2|$
$|AB| = |6|$
$|AB| = 6$ birimdir.
Bu durumda, A ve B noktaları arasındaki uzaklık $6$ birimdir.
Cevap C seçeneğidir.
