10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Karesel Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Test 2

f(x) = (a-1)x² + (b+2)x + c-3 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, a + b + c kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için öncelikle "sabit fonksiyon" kavramını çok iyi anlamamız gerekiyor. Haydi adım adım ilerleyelim!

• 1. Sabit Fonksiyon Nedir?

  Bir fonksiyonun sabit fonksiyon olması demek, o fonksiyonun değerinin $x$ değişkenine bağlı olmaması demektir. Yani, $f(x)$ her zaman aynı sabit bir sayıya eşit olmalıdır. Örneğin, $f(x) = 5$ veya $f(x) = -2$ birer sabit fonksiyondur. Bu tür fonksiyonların grafiği, $x$ eksenine paralel düz bir çizgi olur.

• 2. Polinom Fonksiyonunda Sabitlik Şartı:

  Verilen fonksiyon $f(x) = (a-1)x^2 + (b+2)x + c-3$ bir polinom fonksiyonudur. Bir polinom fonksiyonunun sabit fonksiyon olabilmesi için, $x$ değişkenini içeren tüm terimlerin (yani $x^2$ ve $x$ terimlerinin) katsayıları sıfır olmalıdır. Çünkü eğer bu terimler sıfır olmazsa, $x$ değiştikçe $f(x)$'in değeri de değişir ve bu da sabit fonksiyon tanımına aykırı olur.

• 3. Katsayıları Sıfıra Eşitleme:

  Şimdi bu kuralı fonksiyonumuza uygulayalım:

  • $x^2$ teriminin katsayısı $(a-1)$'dir. Bu katsayı sıfır olmalıdır: $a-1 = 0 \Rightarrow a = 1$
  • $x$ teriminin katsayısı $(b+2)$'dir. Bu katsayı da sıfır olmalıdır: $b+2 = 0 \Rightarrow b = -2$
• 4. Fonksiyonun Yeni Hali:

  $a=1$ ve $b=-2$ değerlerini fonksiyonda yerine yazarsak:

  $f(x) = (1-1)x^2 + (-2+2)x + c-3$ $f(x) = 0x^2 + 0x + c-3$ $f(x) = c-3$

  Gördüğümüz gibi, fonksiyonumuz $f(x) = c-3$ şeklini aldı. Bu, $f(x)$'in gerçekten de sabit bir fonksiyon olduğunu gösterir. Fonksiyonun değeri $c-3$ sabit sayısına eşittir.

• 5. $c$ Değerini Bulma ve Toplamı Hesaplama:

  Şimdi $a+b+c$ toplamını bulmamız gerekiyor. $a=1$ ve $b=-2$ değerlerini biliyoruz. Ancak $c$ değeri henüz belli değil. $f(x) = c-3$ bir sabit fonksiyondur, ancak $c-3$ herhangi bir sabit sayı olabilir (örneğin 5, 0, -10 vb.).

  Bu tür sorularda, eğer $c$ değeri de istenen toplamın bir parçasıysa ve seçenekler arasında tek bir doğru cevap varsa, genellikle fonksiyonun sabit değeri sıfır kabul edilir. Yani, $f(x)=0$ olduğu varsayılır. Bu durumda:

  $c-3 = 0 \Rightarrow c = 3$

  Şimdi $a$, $b$ ve $c$ değerlerini toplayabiliriz:

  $a+b+c = 1 + (-2) + 3$ $a+b+c = -1 + 3$ $a+b+c = 2$

Bu adımları takip ettiğimizde, $a+b+c$ toplamının $2$ olduğunu buluruz.

Cevap A seçeneğidir.