10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Karesel Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Test 2

f(x) = x² - 4x + 1 fonksiyonunun [0, 3] aralığındaki en büyük ve en küçük değerlerinin toplamı kaçtır?

A) -2
B) -1
C) 0
D) 1

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bir fonksiyonun belirli bir kapalı aralıktaki en büyük (maksimum) ve en küçük (minimum) değerlerini bulmak, matematikte sıkça karşılaştığımız ve oldukça önemli bir konudur. Bu değerleri bulmak için izlememiz gereken adımlar genellikle sabittir. Hadi hep birlikte $f(x) = x^2 - 4x + 1$ fonksiyonunun $[0, 3]$ aralığındaki en büyük ve en küçük değerlerini bulalım ve ardından bu değerlerin toplamını hesaplayalım.

• Adım 1: Fonksiyonun Türevini Alarak Kritik Noktaları Bulma

  Bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki en büyük veya en küçük değerleri, ya bu aralıktaki kritik noktalarda ya da aralığın uç noktalarında meydana gelir. Kritik noktaları bulmak için fonksiyonun birinci türevini alıp sıfıra eşitlememiz gerekir. Bu noktalar, fonksiyonun artış veya azalış yönünün değiştiği yerlerdir.

  Fonksiyonumuz: $f(x) = x^2 - 4x + 1$

  Birinci türevini alalım: $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 1) = 2x - 4$

  Türevi sıfıra eşitleyelim: $2x - 4 = 0$

  Denklemi çözelim: $2x = 4 \implies x = 2$

  Bulduğumuz kritik nokta $x=2$'dir. Bu noktanın verilen $[0, 3]$ aralığında olup olmadığını kontrol edelim. Evet, $2 \in [0, 3]$ olduğu için bu kritik noktayı değerlendirmeye almalıyız. Bu nokta, parabolün tepe noktasıdır ve parabol yukarı doğru açıldığı için bu noktada bir minimum değer bekleriz.

• Adım 2: Kritik Noktada ve Aralık Uç Noktalarında Fonksiyon Değerlerini Hesaplama

  Şimdi, bulduğumuz kritik noktada ve aralığın uç noktalarında fonksiyonun değerlerini hesaplayalım. Bu değerler arasından en büyüğü ve en küçüğü seçeceğiz.

  Kritik nokta $x=2$ için fonksiyon değeri:

  $f(2) = (2)^2 - 4(2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$

  Aralığın sol uç noktası $x=0$ için fonksiyon değeri:

  $f(0) = (0)^2 - 4(0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$

  Aralığın sağ uç noktası $x=3$ için fonksiyon değeri:

  $f(3) = (3)^2 - 4(3) + 1 = 9 - 12 + 1 = -2$

• Adım 3: En Büyük ve En Küçük Değerleri Belirleme

  Hesapladığımız tüm fonksiyon değerlerini karşılaştıralım: $1, -3, -2$.

  Bu değerler arasındaki en büyük değer: $1$ (Bu, $x=0$ noktasında elde edilir.)

  Bu değerler arasındaki en küçük değer: $-3$ (Bu, $x=2$ kritik noktasında elde edilir.)

• Adım 4: En Büyük ve En Küçük Değerlerin Toplamını Bulma

  Son olarak, bulduğumuz en büyük ve en küçük değerleri toplayalım.

  Toplam = (En Büyük Değer) + (En Küçük Değer)

  Toplam = $1 + (-3) = -2$

Bu durumda, fonksiyonun $[0, 3]$ aralığındaki en büyük ve en küçük değerlerinin toplamı $-2$'dir.

Cevap B seçeneğidir.