10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Karesel Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Test 2

f(x) = ax² + bx + c fonksiyonunun grafiği y eksenini (0, -3)'te kesmekte ve tepe noktası T(1, -4)'tür.
Buna göre, a · b · c çarpımı kaçtır?

A) -6
B) -3
C) 3
D) 6

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, bir parabolün denklemini bulmak için verilen bilgileri kullanacağız ve ardından katsayıların çarpımını hesaplayacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: y-eksenini kesme noktasını kullanarak '$c$' katsayısını bulma

  Bir fonksiyonun grafiği y-eksenini kestiği nokta, $x=0$ olduğunda $f(x)$ değeridir. Soruda bu noktanın $(0, -3)$ olduğu belirtilmiş. Bu demektir ki $f(0) = -3$.

  Verilen fonksiyon $f(x) = ax^2 + bx + c$ olduğuna göre, $x=0$ yazarsak:

  $f(0) = a(0)^2 + b(0) + c$

  $f(0) = c$

  Bu durumda, $c = -3$ olur. İlk katsayımızı bulduk!

• 2. Adım: Tepe noktasını kullanarak '$a$' ve '$b$' katsayıları arasındaki ilişkiyi bulma

  Bir parabolün tepe noktasının $x$ koordinatı ($x_k$), $x_k = -\frac{b}{2a}$ formülü ile bulunur.

  Soruda tepe noktasının $T(1, -4)$ olduğu verilmiş. Yani $x_k = 1$.

  Bu bilgiyi formülde yerine yazarsak:

  $1 = -\frac{b}{2a}$

  Denklemin her iki tarafını $2a$ ile çarparsak:

  $2a = -b$

  Her iki tarafı $-1$ ile çarparsak:

  $b = -2a$. Bu, '$a$' ve '$b$' arasında önemli bir ilişkidir.

• 3. Adım: Tepe noktasının koordinatlarını kullanarak bir denklem oluşturma

  Tepe noktası $T(1, -4)$ aynı zamanda fonksiyonun grafiği üzerindeki bir noktadır. Bu demektir ki $f(1) = -4$.

  Fonksiyon denkleminde $x=1$ yazarsak:

  $f(1) = a(1)^2 + b(1) + c$

  $f(1) = a + b + c$

  Bu durumda, $a + b + c = -4$ olur. Bu, katsayılarımızı bulmak için kullanacağımız üçüncü denklemdir.

• 4. Adım: '$a$' ve '$b$' katsayılarını bulma

  Şimdi elimizdeki bilgileri birleştirelim:

  • $c = -3$ (1. adımdan)
  • $b = -2a$ (2. adımdan)
  • $a + b + c = -4$ (3. adımdan)

  İkinci ve birinci denklemleri üçüncü denkleme yerine yazalım:

  $a + (-2a) + (-3) = -4$

  Denklemi basitleştirelim:

  $a - 2a - 3 = -4$

  $-a - 3 = -4$

  $-3$'ü eşitliğin diğer tarafına atalım:

  $-a = -4 + 3$

  $-a = -1$

  Her iki tarafı $-1$ ile çarparsak:

  $a = 1$.

  Şimdi '$a$' değerini kullanarak '$b$' değerini bulalım ($b = -2a$ ilişkisinden):

  $b = -2(1) = -2$.

• 5. Adım: Katsayıları kontrol etme (İsteğe bağlı ama çok faydalı!)

  Bulduğumuz katsayılar: $a=1$, $b=-2$, $c=-3$.

  Fonksiyonumuz $f(x) = x^2 - 2x - 3$ olur.

  • $y$-eksenini kesme noktası: $f(0) = 0^2 - 2(0) - 3 = -3$. Doğru!
  • Tepe noktasının $x$ koordinatı: $x_k = -\frac{-2}{2(1)} = \frac{2}{2} = 1$. Doğru!
  • Tepe noktasının $y$ koordinatı: $f(1) = 1^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$. Doğru!

  Tüm koşullar sağlandığına göre katsayılarımız doğru bulunmuştur.

• 6. Adım: $a \cdot b \cdot c$ çarpımını hesaplama

  Bulduğumuz katsayıları çarpalım:

  $a \cdot b \cdot c = (1) \cdot (-2) \cdot (-3)$

  $a \cdot b \cdot c = 6$.

Bu durumda, $a \cdot b \cdot c$ çarpımı $6$'dır.

Cevap D seçeneğidir.