f: [-1, 4] → R, f(x) = x² fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [0, 16]Sevgili öğrenciler, bu soruda bir fonksiyonun belirli bir tanım aralığındaki görüntü kümesini bulmamız isteniyor. Görüntü kümesi, tanım kümesindeki her $x$ değeri için fonksiyonun alabileceği tüm $f(x)$ değerlerinin kümesidir. Adım adım ilerleyelim:
Bize verilen fonksiyon $f(x) = x^2$ ve tanım kümesi $x \in [-1, 4]$ aralığıdır. Bu, $x$ değerlerinin $-1$ ile $4$ arasında ($-1$ ve $4$ dahil) olabileceği anlamına gelir.
$f(x) = x^2$ fonksiyonu bir paraboldür ve kolları yukarı doğru bakar. Bu fonksiyonun en küçük değeri $x=0$ noktasında $f(0) = 0^2 = 0$ olarak alınır. Ayrıca, $x < 0$ için fonksiyon azalan, $x > 0$ için ise artandır.
Görüntü kümesini bulmak için, tanım aralığının uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini ve eğer varsa, bu aralık içindeki fonksiyonun minimum veya maksimum değerini veren kritik noktaları incelemeliyiz.
Tanım aralığının sol ucu: $x = -1$ için $f(-1) = (-1)^2 = 1$.
Tanım aralığının sağ ucu: $x = 4$ için $f(4) = (4)^2 = 16$.
Fonksiyonun kritik noktası (tepe noktası): $f(x) = x^2$ fonksiyonunun tepe noktası $x=0$'dır. Bu nokta, verilen $[-1, 4]$ aralığının içindedir. Bu yüzden $x=0$ noktasındaki değeri de hesaplamalıyız: $f(0) = (0)^2 = 0$.
Hesapladığımız değerler $1$, $16$ ve $0$'dır. Bu değerler arasında en küçüğü $0$, en büyüğü ise $16$'dır.
Fonksiyonun bu aralıktaki en küçük değeri: $f(0) = 0$.
Fonksiyonun bu aralıktaki en büyük değeri: $f(4) = 16$.
$f(x) = x^2$ fonksiyonu sürekli bir fonksiyondur. Sürekli fonksiyonlar, belirli bir aralıkta en küçük ve en büyük değerleri arasında kalan tüm değerleri alır. Bu nedenle, fonksiyonun görüntü kümesi, bulduğumuz minimum ve maksimum değerler arasındaki kapalı aralık olacaktır.
Görüntü kümesi: $[0, 16]$.
Bu durumda, doğru seçenek $A)$ seçeneğidir.
Cevap A seçeneğidir.
