f(x) = (x+1)/(x²-4) fonksiyonunun en geniş reel sayı tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) R - {2}Sevgili öğrenciler, bir fonksiyonun en geniş reel sayı tanım kümesini bulmak, o fonksiyonda hangi $x$ değerlerini yerine koyabileceğimizi belirlemek demektir. Kimi zaman bazı $x$ değerleri fonksiyonu tanımsız yapabilir. Şimdi, $f(x) = \frac{x+1}{x^2-4}$ fonksiyonunun tanım kümesini adım adım inceleyelim:
Verilen fonksiyon bir rasyonel fonksiyondur, yani bir kesir şeklinde yazılmıştır. Matematikte kesirli ifadelerde payda asla sıfır olamaz. Eğer payda sıfır olursa, ifade tanımsız hale gelir. Bu nedenle, tanım kümesini bulmak için paydayı sıfır yapan $x$ değerlerini bulup, reel sayılar kümesinden çıkarmamız gerekir.
Fonksiyonumuzun paydası $x^2-4$'tür. Bu ifadeyi sıfıra eşitleyelim:
$x^2 - 4 = 0$
Bu denklem, iki kare farkı özdeşliği kullanılarak veya $x^2 = 4$ şeklinde yazılarak çözülebilir:
$x^2 - 4 = (x-2)(x+2) = 0$
Bir çarpımın sonucu sıfır ise, çarpanlardan en az biri sıfır olmalıdır. Bu durumda:
$x-2 = 0 \implies x = 2$
veya
$x+2 = 0 \implies x = -2$
$x^2 = 4$
Her iki tarafın karekökünü aldığımızda, hem pozitif hem de negatif kökü düşünmeliyiz:
$x = \sqrt{4}$ veya $x = -\sqrt{4}$
$x = 2$ veya $x = -2$
Her iki yöntemle de paydayı sıfır yapan değerlerin $x=2$ ve $x=-2$ olduğunu bulduk.
Bu bulduğumuz $x=2$ ve $x=-2$ değerleri, fonksiyonu tanımsız yaptığı için tanım kümesine dahil edilemez. Dolayısıyla, fonksiyonun en geniş reel sayı tanım kümesi, tüm reel sayılar kümesinden bu iki değeri çıkarmakla elde edilir.
Tanım Kümesi: $R - \{2, -2\}$
Bu ifade, "tüm reel sayılar kümesinden $2$ ve $-2$ sayıları çıkarılmıştır" anlamına gelir.
Cevap C seçeneğidir.
