9. Sınıf Fonksiyonun Tanım ve Görüntü Kümesi Test 2

f: R → R, f(x) = |x| + 2 fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) [0, ∞)
B) [2, ∞)
C) (2, ∞)
D) R

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir fonksiyonun görüntü kümesini bulmayı öğreneceğiz. Görüntü kümesi, bir fonksiyonun alabileceği tüm $y$ değerlerinin (yani fonksiyonun çıktılarının) kümesidir. Fonksiyonumuz $f(x) = |x| + 2$. Adım adım ilerleyelim:

• Mutlak Değer Fonksiyonunu Anlayalım:

  Öncelikle, mutlak değer fonksiyonu olan $|x|$'in özelliklerini hatırlayalım. Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Bu nedenle, bir sayının mutlak değeri asla negatif olamaz. Yani, her $x$ gerçek sayısı için:

  $|x| \ge 0$

  Bu eşitsizlik bize, $|x|$'in alabileceği en küçük değerin $0$ olduğunu söyler. Örneğin, $x=0$ için $|0|=0$ olur. $x$ pozitif veya negatif oldukça, $|x|$ değeri de büyür (örneğin, $|-3|=3$, $|5|=5$).

  Dolayısıyla, $|x|$ fonksiyonunun görüntü kümesi $[0, \infty)$'dur.

• Fonksiyonumuza Eklenen Sabit Değeri Değerlendirelim:

  Şimdi fonksiyonumuz $f(x) = |x| + 2$. Biz $|x|$'in alabileceği en küçük değerin $0$ olduğunu biliyoruz. Bu ifadeye $2$ eklediğimizde ne olur?

  Eşitsizliğimizin her iki tarafına $2$ ekleyelim:

  $|x| + 2 \ge 0 + 2$

  $|x| + 2 \ge 2$

• Görüntü Kümesini Belirleyelim:

  Bu son eşitsizlik, $f(x) = |x| + 2$ fonksiyonunun alabileceği en küçük değerin $2$ olduğunu gösterir. Fonksiyon, $x=0$ olduğunda $f(0) = |0| + 2 = 0 + 2 = 2$ değerini alır. $x$'in diğer değerleri için $|x|$ büyüdükçe, $f(x)$ değeri de $2$'den büyük değerler alacaktır.

  Örneğin:

  • $f(1) = |1| + 2 = 1 + 2 = 3$
  • $f(-3) = |-3| + 2 = 3 + 2 = 5$

  Bu durumda, $f(x)$ fonksiyonunun alabileceği tüm değerler $2$ ve $2$'den büyük sayılardır.

  Matematiksel olarak bu durumu kapalı aralık gösterimiyle ifade ederiz: $[2, \infty)$.

Bu analiz sonucunda, $f(x) = |x| + 2$ fonksiyonunun görüntü kümesi $[2, \infty)$ olarak bulunur.

Cevap B seçeneğidir.