Bir kenar uzunluğu \(x\) birim olan küpten, bir kenar uzunluğu \(y\) birim olan küp çıkarılıyor. Kalan cismin hacmi \(189\) birimküp olduğuna göre ve \(x-y=3\) olduğuna göre, \(x^2+y^2\) değeri kaçtır?
A) 25
B) 36
C) 45
D) 49
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, küplerin hacimleri ve cebirsel özdeşlikler bilgisini kullanarak bir sonuca ulaşacağız. Adım adım ilerleyelim:
-
Adım 1: Verilen Bilgileri Anlayalım ve Matematiksel İfadeye Dönüştürelim.
- Bir kenar uzunluğu $x$ birim olan küpün hacmi $V_x = x^3$ birimküptür.
- Bir kenar uzunluğu $y$ birim olan küpün hacmi $V_y = y^3$ birimküptür.
- Büyük küpten küçük küp çıkarıldığında kalan cismin hacmi $V_{kalan} = V_x - V_y = x^3 - y^3$ olur.
- Soruda bu hacmin $189$ birimküp olduğu verilmiş: $x^3 - y^3 = 189$.
- Ayrıca, $x-y=3$ olduğu da verilmiştir.
- Bizden istenen değer $x^2+y^2$'dir.
-
Adım 2: Küplerin Farkı Formülünü Kullanarak İlk Denklemi Çözelim.
- Küplerin farkı için genel bir cebirsel özdeşlik vardır: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
- Bu formülü $x$ ve $y$ için uygulayalım: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
- Şimdi, verilen değerleri bu formülde yerine yazalım:
- $x^3 - y^3 = 189$
- $x - y = 3$
- Denklemimiz şu hale gelir: $189 = (3)(x^2 + xy + y^2)$.
- Eşitliğin her iki tarafını $3$'e bölerek $(x^2 + xy + y^2)$ ifadesinin değerini bulalım:
- $\frac{189}{3} = x^2 + xy + y^2$
- $63 = x^2 + xy + y^2$.
- Bu eşitliği şimdilik bir kenarda tutalım.
-
Adım 3: $(x-y)^2$ Formülünü Kullanarak $x^2+y^2$ ile $xy$ Arasındaki İlişkiyi Bulalım.
- İki terimin farkının karesi için genel bir cebirsel özdeşlik vardır: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
- Bu formülü $x$ ve $y$ için uygulayalım: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
- $x - y = 3$ olduğu için, her iki tarafın karesini alalım:
- $(3)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
- $9 = x^2 - 2xy + y^2$.
- Bu eşitliği $x^2 + y^2$ cinsinden yazarsak: $x^2 + y^2 = 9 + 2xy$.
-
Adım 4: Bulduğumuz İfadeleri Birleştirerek $xy$ Değerini Hesaplayalım.
- Adım 2'de bulduğumuz eşitlik: $63 = x^2 + xy + y^2$.
- Bu eşitliği $(x^2 + y^2) + xy = 63$ şeklinde yazabiliriz.
- Adım 3'te bulduğumuz $x^2 + y^2 = 9 + 2xy$ ifadesini bu denklemde yerine yazalım:
- $(9 + 2xy) + xy = 63$
- $9 + 3xy = 63$.
- Şimdi $xy$ değerini bulmak için denklemi çözelim:
- $3xy = 63 - 9$
- $3xy = 54$
- $xy = \frac{54}{3}$
- $xy = 18$.
-
Adım 5: Son Olarak $x^2+y^2$ Değerini Bulalım.
- Adım 3'te bulduğumuz $x^2 + y^2 = 9 + 2xy$ eşitliğini tekrar kullanalım.
- Adım 4'te bulduğumuz $xy = 18$ değerini bu eşitlikte yerine yazalım:
- $x^2 + y^2 = 9 + 2(18)$
- $x^2 + y^2 = 9 + 36$
- $x^2 + y^2 = 45$.
Böylece, $x^2+y^2$ değerini $45$ olarak bulmuş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
