İki küp farkı (a³-b³) Test 2

\(m^3 - n^3 = 124\) ve \(m - n = 4\) olduğuna göre, \(m \cdot n\) çarpımı kaçtır?

A) 9
B) 12
C) 15
D) 18

Bu soruyu çözmek için cebirsel özdeşlikleri kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Küpler Farkı Özdeşliğini Hatırlayalım

  İki sayının küpleri farkı özdeşliği şu şekildedir:

  $(a^3 - b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

  Bu özdeşliği $m$ ve $n$ için uygulayalım:

  $(m^3 - n^3) = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$

• Adım 2: Verilen Değerleri Özdeşlikte Yerine Koyalım

  Soruda bize $m^3 - n^3 = 124$ ve $m - n = 4$ olarak verilmiş. Bu değerleri özdeşlikte yerine yazalım:

  $124 = (4)(m^2 + mn + n^2)$

• Adım 3: Denklemi Sadeleştirelim

  Eşitliğin her iki tarafını $4$'e bölerek $m^2 + mn + n^2$ ifadesini bulalım:

  $\frac{124}{4} = m^2 + mn + n^2$

  $31 = m^2 + mn + n^2$

  Bu denklemi şimdilik bir kenarda tutalım.

• Adım 4: Tam Kare Özdeşliğini Hatırlayalım

  İki sayının farkının karesi özdeşliği şu şekildedir:

  $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

  Bu özdeşliği $m$ ve $n$ için uygulayalım:

  $(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$

• Adım 5: Verilen $m - n$ Değerini Kullanalım

  Bize $m - n = 4$ olarak verilmiş. Bu değeri tam kare özdeşliğinde yerine yazalım:

  $(4)^2 = m^2 - 2mn + n^2$

  $16 = m^2 - 2mn + n^2$

• Adım 6: İki Denklemi Birleştirelim

  Şimdi elimizde iki denklem var:

  1. $m^2 + mn + n^2 = 31$ (Adım 3'ten)

  2. $m^2 - 2mn + n^2 = 16$ (Adım 5'ten)

  Birinci denklemden ikinci denklemi çıkararak $mn$ çarpımını bulabiliriz:

  $(m^2 + mn + n^2) - (m^2 - 2mn + n^2) = 31 - 16$

  $m^2 + mn + n^2 - m^2 + 2mn - n^2 = 15$

  Gördüğümüz gibi $m^2$ ve $n^2$ terimleri birbirini götürür:

  $mn + 2mn = 15$

  $3mn = 15$

• Adım 7: $m \cdot n$ Çarpımını Bulalım

  Son olarak, $mn$ çarpımını bulmak için denklemi çözelim:

  $mn = \frac{15}{3}$

  $mn = 5$

Bu durumda, $m \cdot n$ çarpımı $5$'tir.

Cevap A seçeneğidir.