\(27a^3 - 64b^3\) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) \((3a-4b)(9a^2+12ab+16b^2)\)Bu soruda, cebirdeki önemli özdeşliklerden biri olan "küpler farkı" özdeşliğini kullanarak bir ifadeyi çarpanlarına ayıracağız. Bu tür sorular, matematiksel ifadeleri tanıma ve doğru formülleri uygulama becerinizi geliştirir.
İfademiz: $27a^3 - 64b^3$
Verilen ifade $27a^3 - 64b^3$ şeklindedir. Bu ifade, iki terimin küplerinin farkı şeklinde yazılabilir. Yani, $x^3 - y^3$ formuna benziyor.
Küpler farkı özdeşliği şöyledir:
$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$
Bu özdeşlik, cebirde sıkça karşımıza çıkan ve mutlaka bilmemiz gereken temel bir formüldür.
Şimdi, verilen $27a^3 - 64b^3$ ifadesindeki $x$ ve $y$ değerlerini bulalım. Bunun için her terimin hangi ifadenin küpü olduğunu belirlemeliyiz:
Öncelikle, $x^3 = 27a^3$ ise, $x$ değerini bulmak için her iki tarafın küpkökünü alırız:
$x = \sqrt[3]{27a^3} = 3a$
Ardından, $y^3 = 64b^3$ ise, $y$ değerini bulmak için her iki tarafın küpkökünü alırız:
$y = \sqrt[3]{64b^3} = 4b$
Böylece $x=3a$ ve $y=4b$ olarak belirledik.
Bulduğumuz $x=3a$ ve $y=4b$ değerlerini küpler farkı özdeşliğinde yerine yazalım:
$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$
$(3a)^3 - (4b)^3 = (3a-4b)((3a)^2 + (3a)(4b) + (4b)^2)$
Şimdi parantez içindeki terimleri düzenleyelim ve sadeleştirelim:
$(3a-4b)(9a^2 + 12ab + 16b^2)$
İşte ifademizin çarpanlarına ayrılmış hali budur!
Elde ettiğimiz $(3a-4b)(9a^2+12ab+16b^2)$ ifadesini verilen seçeneklerle karşılaştıralım:
A) $(3a-4b)(9a^2+12ab+16b^2)$
B) $(3a-4b)(9a^2-12ab+16b^2)$
C) $(3a+4b)(9a^2-12ab+16b^2)$
D) $(3a+4b)(9a^2+12ab+16b^2)$
Görüldüğü üzere, bulduğumuz sonuç A seçeneği ile tamamen aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
