İki küp farkı (a³-b³) Test 2

\(125 - 8k^3\) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?

A) \((5-2k)(25+10k+4k^2)\)
B) \((5-2k)(25-10k+4k^2)\)
C) \((5+2k)(25-10k+4k^2)\)
D) \((5+2k)(25+10k+4k^2)\)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırma konusunda önemli bir konuyu, iki küp farkı özdeşliğini inceleyeceğiz. Verilen ifadeyi adım adım çarpanlarına ayırarak doğru cevabı bulalım.

• 1. İfadeyi Tanıma:

  Verilen ifade $125 - 8k^3$'tür. Bu ifadeye dikkatlice baktığımızda, iki sayının küpleri arasındaki fark olduğunu fark edebiliriz. Bu tür ifadeler için özel bir çarpanlara ayırma formülümüz vardır: İki Küp Farkı Özdeşliği.

• 2. Küp Köklerini Bulma:

  Öncelikle, ifadedeki terimlerin hangi sayıların küpü olduğunu belirleyelim:

  • $125$ sayısı, $5$'in küpüdür. Yani, $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$.
  • $8k^3$ ifadesi, $(2k)$'nin küpüdür. Yani, $(2k)^3 = (2k) \times (2k) \times (2k) = 2^3 \times k^3 = 8k^3$.

  Buna göre, ifademizi $5^3 - (2k)^3$ şeklinde yazabiliriz.

• 3. İki Küp Farkı Formülünü Hatırlama:

  İki küp farkı formülü şöyledir:

  $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

• 4. $a$ ve $b$ Değerlerini Belirleme:

  Bizim ifademiz $5^3 - (2k)^3$ olduğuna göre, formüldeki $a$ ve $b$ değerleri şunlardır:

  • $a = 5$
  • $b = 2k$
• 5. Formülü Uygulama:

  Şimdi $a=5$ ve $b=2k$ değerlerini iki küp farkı formülünde yerine yazalım:

  • $(a-b)$ kısmı: $(5-2k)$
  • $(a^2)$ kısmı: $5^2 = 25$
  • $(ab)$ kısmı: $5 \times (2k) = 10k$
  • $(b^2)$ kısmı: $(2k)^2 = 4k^2$
• 6. Çarpanlara Ayrılmış Hali Yazma:

  Bu parçaları birleştirdiğimizde, $125 - 8k^3$ ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali şu şekilde olur:

  $(5-2k)(25+10k+4k^2)$

• 7. Seçeneklerle Karşılaştırma:

  Elde ettiğimiz bu sonuç, verilen seçeneklerle karşılaştırıldığında A seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.