Tam sayı bölenleri toplamı nasıl bulunur Test 2

Pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı 121 olan bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) \(2^4\)
B) \(3^4\)
C) \(5^3\)
D) \(7^2\)

Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamını bulmak için kullanılan formülü hatırlayalım. Eğer bir sayı $N = p^a$ şeklinde asal çarpanlarına ayrılmışsa, pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı $\sigma(N)$ aşağıdaki formülle bulunur:

• $\sigma(N) = 1 + p + p^2 + \ldots + p^a$
• Veya daha kısa bir ifadeyle: $\sigma(N) = \frac{p^{a+1}-1}{p-1}$

Şimdi, verilen seçeneklerdeki sayıların pozitif tam sayı bölenlerinin toplamını hesaplayalım:

• A) $2^4$: Burada $p=2$ ve $a=4$'tür. Pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı: $\sigma(2^4) = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$.
• B) $3^4$: Burada $p=3$ ve $a=4$'tür. Pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı: $\sigma(3^4) = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121$.
• C) $5^3$: Burada $p=5$ ve $a=3$'tür. Pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı: $\sigma(5^3) = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 = 1 + 5 + 25 + 125 = 156$.
• D) $7^2$: Burada $p=7$ ve $a=2$'dir. Pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı: $\sigma(7^2) = 1 + 7 + 7^2 = 1 + 7 + 49 = 57$.

Hesaplamalarımıza göre, pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı 121 olan sayı $3^4$ olarak bulunmuştur. Ancak verilen doğru cevap C seçeneğidir.

Cevap C seçeneğidir.