\( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \) temel özdeşliğini kullanarak, \( \sin\alpha = \frac{1}{3} \) ve \( \alpha \) dar açı ise \( \cos\alpha \) kaçtır?
A) \( \frac{2\sqrt{2}}{3} \)Merhaba sevgili öğrenciler! Trigonometri sorularını çözerken temel özdeşlikleri kullanmak çok önemlidir. Bu soruda da \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \) özdeşliğini kullanarak \( \cos\alpha \) değerini bulacağız. Hazırsanız başlayalım!
Trigonometrinin temel özdeşliği şudur: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \). Bu özdeşlik, birim çember üzerindeki her açı için geçerlidir ve soruyu çözmemizin anahtarıdır.
Soruda \( \sin\alpha = \frac{1}{3} \) olduğu verilmiş. Bu değeri temel özdeşlikte yerine yazalım:
\( (\frac{1}{3})^2 + \cos^2\alpha = 1 \)
\( (\frac{1}{3})^2 \) ifadesini hesaplayalım:
\( \frac{1}{9} + \cos^2\alpha = 1 \)
\( \cos^2\alpha \) değerini bulmak için \( \frac{1}{9} \) değerini eşitliğin diğer tarafına atalım:
\( \cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{9} \)
\( \cos^2\alpha = \frac{8}{9} \)
\( \cos\alpha \) değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
\( \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} \)
\( \cos\alpha = \pm\frac{\sqrt{8}}{3} \)
\( \sqrt{8} \) ifadesini \( 2\sqrt{2} \) olarak yazabiliriz:
\( \cos\alpha = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3} \)
Soruda \( \alpha \) açısının dar açı olduğu belirtilmiş. Dar açılar 0 ile 90 derece arasında olduğundan, bu aralıktaki kosinüs değerleri pozitiftir. Bu nedenle \( \cos\alpha \) değeri pozitif olmalıdır.
\( \cos\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
Gördüğünüz gibi, temel özdeşliği kullanarak ve verilen bilgileri doğru bir şekilde uygulayarak sonuca ulaştık. Cevap A seçeneğidir.
