A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde en az bir çift sayı bulunur?
A) 16
B) 20
C) 24
D) 28
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, belirli bir kümenin alt kümeleri arasından özel bir koşulu sağlayanları bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek soruyu kolayca çözelim.
- Adım 1: Kümenin Eleman Sayısını ve Toplam Alt Küme Sayısını Belirleyelim.
- Verilen küme $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$'tir.
- Bu kümenin eleman sayısı $n = 5$'tir.
- Bir kümenin toplam alt küme sayısı $2^n$ formülüyle bulunur.
- Dolayısıyla, $A$ kümesinin toplam alt küme sayısı $2^5 = 32$'dir.
- Adım 2: "En Az Bir Çift Sayı Bulunur" İfadesini Anlayalım ve Çözüm Stratejimizi Belirleyelim.
- Soru bizden, alt kümelerin içinde en az bir tane çift sayı olmasını istiyor. Yani, alt kümede 2 veya 4'ten en az biri bulunmalı.
- Bu tür "en az bir" içeren sorularda genellikle tamamlayıcı yöntem kullanmak daha pratiktir. Tamamlayıcı yöntem şöyledir:
- (İstenen Durum Sayısı) = (Toplam Durum Sayısı) - (İstenmeyen Durum Sayısı)
- Burada istenen durum, alt kümede en az bir çift sayı bulunmasıdır.
- İstenmeyen durum ise, alt kümede hiç çift sayı bulunmamasıdır.
- Adım 3: Hiç Çift Sayı Bulunmayan Alt Küme Sayısını Bulalım.
- $A$ kümesindeki çift sayılar $\{2, 4\}$'tür.
- Bir alt kümede hiç çift sayı bulunmaması demek, o alt kümenin sadece tek sayılardan oluşması demektir.
- $A$ kümesindeki tek sayılar kümesi $T = \{1, 3, 5\}$'tir.
- Bu $T$ kümesinin eleman sayısı $k = 3$'tür.
- Sadece tek sayılardan oluşan alt küme sayısı, $T$ kümesinin alt küme sayısı kadardır. Bu da $2^k$ formülüyle bulunur.
- Hiç çift sayı bulunmayan alt küme sayısı $2^3 = 8$'dir.
- Adım 4: Sonucu Hesaplayalım.
- Şimdi tamamlayıcı yöntemi kullanarak cevabı bulabiliriz:
- En az bir çift sayı bulunan alt küme sayısı = (Toplam alt küme sayısı) - (Hiç çift sayı bulunmayan alt küme sayısı)
- En az bir çift sayı bulunan alt küme sayısı = $32 - 8 = 24$'tür.
Bu durumda, $A$ kümesinin alt kümelerinden 24 tanesinde en az bir çift sayı bulunur.
Cevap D seçeneğidir.
