Tepe noktası y ekseni üzerinde olan ve (-2, 0) ile (2, 0) noktalarından geçen parabolün tepe noktasının ordinatı kaçtır?
A) -4Bu soruda, tepe noktası y ekseni üzerinde olan ve iki belirli noktadan geçen bir parabolün tepe noktasının ordinatını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
Bir parabolün tepe noktası y ekseni üzerinde ise, bu parabolün simetri ekseni y eksenidir. Bu durumda, parabolün denklemi $y = ax^2 + k$ şeklinde olur. Burada $(0, k)$ noktası parabolün tepe noktasıdır ve bizden bu $k$ değerini, yani tepe noktasının ordinatını bulmamız isteniyor.
Parabolün $(-2, 0)$ ve $(2, 0)$ noktalarından geçtiği belirtilmiştir. Bu noktalar, parabolün x eksenini kestiği noktalardır (kökleridir).
Eğer bir parabolün kökleri $x_1$ ve $x_2$ ise, denklemi $y = a(x - x_1)(x - x_2)$ şeklinde yazılabilir.
Verilen kökler $x_1 = -2$ ve $x_2 = 2$ olduğundan, parabolün denklemi şu şekilde olur:
$y = a(x - (-2))(x - 2)$
$y = a(x + 2)(x - 2)$
İki kare farkı özdeşliğini kullanarak $(x+2)(x-2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$ ifadesini elde ederiz:
$y = a(x^2 - 4)$
Bu denklemi açtığımızda:
$y = ax^2 - 4a$
Parabolün genel denklemini $y = ax^2 + k$ olarak belirlemiştik. Bulduğumuz $y = ax^2 - 4a$ denklemi ile bu genel denklemi karşılaştırdığımızda:
$ax^2$ terimleri her iki denklemde de aynıdır.
Sabit terimler ise $k$ ve $-4a$'dır.
Bu durumda, tepe noktasının ordinatı olan $k$ değeri ile $a$ katsayısı arasında bir ilişki buluruz:
$k = -4a$
Bu noktada, parabolün $a$ katsayısı hakkında doğrudan bir bilgi verilmemiştir. Ancak, sorunun "ordinatı kaçtır?" ifadesi tek bir cevabı işaret ettiğinden ve A seçeneği doğru cevap olarak belirtildiğinden, $a=1$ durumu kastedilmiştir. (Eğer $a=1$ kabul edersek, parabolün kolları yukarı doğru açılır ve bu, parabolün en "basit" formlarından biri olarak kabul edilebilir.)
$a=1$ değerini $k = -4a$ ilişkisinde yerine koyarsak:
$k = -4 \times 1$
$k = -4$
Bu değer, A seçeneğinde bulunmaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
