Tam kareye tamamlama yöntemi kullanılarak \(3x^2 + 12x - 15 = 0\) denklemi çözülmek isteniyor. Denklem \(a(x + b)^2 = c\) formuna getirildiğinde a, b ve c değerleri ne olur?
A) a=3, b=2, c=27Merhaba sevgili öğrenciler!
Tam kareye tamamlama yöntemi, ikinci dereceden denklemleri çözmek için güçlü bir araçtır. Bu yöntemle, denklemi $a(x + b)^2 = c$ gibi daha basit bir forma dönüştürerek köklerini kolayca bulabiliriz. Şimdi, $3x^2 + 12x - 15 = 0$ denklemini bu forma getirelim ve $a$, $b$, $c$ değerlerini bulalım.
İlk adım olarak, denklemin sabit terimini eşitliğin sağ tarafına taşıyalım. Yani $-15$ terimini sağ tarafa $+15$ olarak geçirelim:
$3x^2 + 12x = 15$
Tam kareye tamamlama yaparken, $x^2$ teriminin katsayısının $1$ olmasını isteriz. Ancak hedef formumuz $a(x+b)^2=c$ olduğu için, $x^2$ ve $x$ terimlerini içeren kısmı $3$ parantezine alarak başlayabiliriz:
$3(x^2 + 4x) = 15$
Şimdi parantez içindeki ifadeyi ($x^2 + 4x$) tam kare yapmaya odaklanalım. Bir ifadeyi tam kare yapmak için, $x$'in katsayısının yarısının karesini eklememiz gerekir. Burada $x$'in katsayısı $4$'tür. $4$'ün yarısı $2$'dir ve $2$'nin karesi $4$'tür. Bu $4$ sayısını parantez içine ekleyelim:
$3(x^2 + 4x + 4) = 15$
Ancak dikkat! Parantez içine $4$ eklediğimizde, bu $4$ sayısı dışarıdaki $3$ ile çarpıldığı için aslında denklemin sol tarafına $3 \times 4 = 12$ eklemiş olduk. Eşitliğin bozulmaması için, sağ tarafa da aynı değeri ($12$) eklemeliyiz:
$3(x^2 + 4x + 4) = 15 + 12$
Şimdi parantez içindeki ifadeyi tam kare olarak yazabiliriz. $x^2 + 4x + 4$ ifadesi $(x + 2)^2$ şeklinde yazılabilir:
$3(x + 2)^2 = 27$
Denklemimiz artık $a(x + b)^2 = c$ formuna gelmiştir. Bu formla elde ettiğimiz denklemi karşılaştıralım:
Bulduğumuz $a=3$, $b=2$, $c=27$ değerleri seçeneklerdeki A seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
