Bir marangoz 120 cm ve 150 cm uzunluğundaki tahta parçalarını eşit uzunlukta parçalara ayıracaktır. Kesilecek parçaların uzunluğu santimetre cinsinden bir tam sayı olduğuna göre, en az kaç kesim yapması gerekir?
A) 7Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde bir marangozun farklı uzunluktaki iki tahta parçasını eşit uzunlukta ve mümkün olan en az kesimle nasıl ayıracağını bulmamız isteniyor. En az kesim yapmak için, elde edeceğimiz her bir parçanın uzunluğunu mümkün olduğunca büyük seçmeliyiz. İşte adım adım çözümümüz:
Marangozun elindeki tahta parçaları 120 cm ve 150 cm uzunluğundadır. Bu parçaları eşit uzunlukta küçük parçalara ayırmak istediğimiz için, bu küçük parçaların uzunluğu hem 120'nin hem de 150'nin bir böleni olmalıdır. Ayrıca, en az kesim yapmak için bu küçük parçaların uzunluğunu en büyük seçmeliyiz. Bu da bize 120 ve 150'nin En Büyük Ortak Bölenini (EBOB) bulmamız gerektiğini gösterir.
120 ve 150'nin asal çarpanlarına ayrılması:
EBOB'u bulmak için, her iki sayıda da ortak olan asal çarpanların en küçük üslerini alırız:
$EBOB(120, 150) = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 2 \times 3 \times 5 = 30$ cm.
Bu durumda, marangozun keseceği her bir küçük parça 30 cm uzunluğunda olmalıdır.
Şimdi, her bir orijinal tahta parçasından 30 cm'lik kaç adet küçük parça elde edeceğimizi bulalım:
Her iki tahta parçasından elde edilen toplam küçük parça sayısı:
Toplam parça sayısı = $4 \text{ parça} + 5 \text{ parça} = 9$ parça.
Bir bütün parçayı $N$ adet küçük parçaya ayırmak için $N-1$ adet kesim yapılması gerekir. Bu kuralı, elde ettiğimiz toplam küçük parça sayısı üzerinden uygulayarak en az kesim sayısını bulabiliriz.
Toplam kesim sayısı = (Toplam parça sayısı) - 1
Toplam kesim sayısı = $9 - 1 = 8$ kesim.
Bu şekilde, marangozun en az 8 kesim yapması gerekir.
Cevap B seçeneğidir.
