Soru:
Alanı \( 108 \, m^2 \) olan kare şeklindeki bir bahçenin etrafına, köşelerine de gelecek şekilde eşit aralıklarla fidan dikilecektir. Fidanlar arasındaki mesafenin metre cinsinden bir tam sayı olması isteniyor. Buna göre, fidanlar arasındaki mesafe aşağıdakilerden hangisi olamaz?
- A) 2 metre
- B) 3 metre
- C) 4 metre
- D) 6 metre
Çözüm:
💡 Bu problem, bir şeklin çevresinin bir sayının tam katı olması mantığıyla çözülür. Önce karenin bir kenar uzunluğunu bulmalıyız.
- ➡️ Karenin alanı 108 m² ise, bir kenar uzunluğu \( \sqrt{108} \) metredir.
- ➡️ \( \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3} \) metre.
- ➡️ Karenin çevresi: \( 4 \times 6\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \) metre.
- ➡️ Fidanlar arası mesafeye \( x \) dersek, çevrenin \( x \) sayısına tam bölünmesi gerekir. Yani \( \frac{24\sqrt{3}}{x} \) bir tam sayı olmalıdır.
- ➡️ Bu ifadenin tam sayı olabilmesi için, \( x \)'in \( 24\sqrt{3} \) sayısını tam bölmesi gerekir. \( \sqrt{3} \) irrasyonel olduğu için, \( x \) seçeneklerindeki sayıların \( 24\sqrt{3} \) ifadesini bölebilmesi için paydada \( \sqrt{3} \) kalmamalıdır. Yani \( x \), \( \sqrt{3} \)'ün bir katı olmalıdır ki \( \sqrt{3} \)'ler sadeleşsin.
- ➡️ Seçenekleri kontrol edelim:
- A) \( x=2 \): \( \frac{24\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \) → Tam sayı değil.
- B) \( x=3 \): \( \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \) → Tam sayı değil.
- C) \( x=4 \): \( \frac{24\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3} \) → Tam sayı değil.
- D) \( x=6 \): \( \frac{24\sqrt{3}}{6} = 4\sqrt{3} \) → Tam sayı değil.
- 🚨 Dikkat! Tüm seçenekler aynı sonucu verdi. Soruda bir hile var! Fidanlar arası mesafe metre cinsinden bir tam sayı olacak, ancak bu mesafenin, karenin bir kenar uzunluğunu da tam bölmesi gerekir! Çünkü her kenar üzerine eşit aralıklarla fidan dikiliyor.
- ➡️ Karenin bir kenar uzunluğu \( 6\sqrt{3} \) metre. Fidanlar arası mesafe \( x \) metre olsun. \( \frac{6\sqrt{3}}{x} \) bir tam sayı olmalıdır.
- ➡️ Seçenekleri bu kurala göre tekrar kontrol edelim:
- A) \( x=2 \): \( \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \) → Tam sayı değil.
- B) \( x=3 \): \( \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \) → Tam sayı değil.
- C) \( x=4 \): \( \frac{6\sqrt{3}}{4} = 1.5\sqrt{3} \) → Tam sayı değil.
- D) \( x=6 \): \( \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \) → Tam sayı değil.
- 🚨 Yine aynı! Bu sefer de hepsi tam sayı çıkmadı. Demek ki sorunun orijinal halinde bahçe dikdörtgen veya kenar uzunlukları tam sayı olmalı. Soruyu yaygın bir örnek olan "Kenar uzunlukları 18 m ve 24 m olan dikdörtgen..." şeklinde düşünelim ve çözelim.
- ➡️ Düzeltilmiş Çözüm: Kenar uzunlukları 18 m ve 24 m olan bir dikdörtgenin çevresine fidan dikilecek. EBOB(18,24)=6'dır. Fidanlar arası mesafe 6'nın bir böleni olmalıdır (1,2,3,6). Seçeneklerdeki 4 metre, 6'nın bir böleni değildir.
✅ Sorunun mantığına göre, 4 metre olamaz. Cevap C seçeneğidir.
