Gerektirme nedir Test 2

\( p: "x > 5" \) ve \( q: "x^2 > 25" \) önermeleri veriliyor. \( p \Rightarrow q \) gerektirmesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Her x gerçek sayısı için doğrudur
B) Hiçbir x gerçek sayısı için doğru değildir
C) Sadece pozitif x değerleri için doğrudur
D) Sadece negatif x değerleri için doğrudur

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, verilen iki önerme arasındaki gerektirmeyi (koşullu önermeyi) inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• 1. Adım: Verilen Önermeleri Anlayalım

  Bize iki önerme verilmiş:

  • $ p: "x > 5" $ önermesi, $x$ sayısının 5'ten büyük olduğunu ifade eder.
  • $ q: "x^2 > 25" $ önermesi, $x$ sayısının karesinin 25'ten büyük olduğunu ifade eder.

  Bizden istenen, $ p \Rightarrow q $ gerektirmesinin (yani "$p$ ise $q$") hangi durumlar için doğru olduğunu bulmaktır.

• 2. Adım: Gerektirme ($ p \Rightarrow q $) Ne Zaman Doğrudur?

  Mantıkta, $ p \Rightarrow q $ gerektirmesi sadece tek bir durumda yanlıştır: $p$ doğru iken $q$ yanlış olduğunda. Diğer tüm durumlarda ($p$ yanlış iken $q$ doğru, $p$ yanlış iken $q$ yanlış, $p$ doğru iken $q$ doğru), $ p \Rightarrow q $ gerektirmesi doğrudur.

  Bu nedenle, $ p \Rightarrow q $ gerektirmesinin ne zaman yanlış olduğunu bulursak, geriye kalan tüm durumlar için doğru olduğunu anlamış oluruz.

• 3. Adım: $q$ Önermesinin Doğruluk Değerini İnceleyelim

  $ q: "x^2 > 25" $ önermesini inceleyelim. Bu eşitsizliği çözmek için her iki taraftan 25 çıkaralım:

  $ x^2 - 25 > 0 $

  Bu ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz ($a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ özdeşliğinden):

  $ (x - 5)(x + 5) > 0 $

  Bu eşitsizliğin doğru olması için iki durum vardır:

  • Durum 1: Her iki çarpan da pozitiftir. Yani $ (x - 5 > 0) $ ve $ (x + 5 > 0) $. Bu durumda $ x > 5 $ ve $ x > -5 $ olur. İkisini birden sağlayan değerler $ x > 5 $ aralığıdır.
  • Durum 2: Her iki çarpan da negatiftir. Yani $ (x - 5 < 0) $ ve $ (x + 5 < 0) $. Bu durumda $ x < 5 $ ve $ x < -5 $ olur. İkisini birden sağlayan değerler $ x < -5 $ aralığıdır.

  Yani, $ q $ önermesi ($ x^2 > 25 $) $ x > 5 $ veya $ x < -5 $ olduğunda doğrudur.

  Buna göre, $ q $ önermesi $ -5 \le x \le 5 $ olduğunda yanlıştır.

• 4. Adım: $ p \Rightarrow q $ Gerektirmesinin Yanlış Olduğu Durumu Arayalım

  Hatırlayalım, $ p \Rightarrow q $ gerektirmesi sadece $p$ doğru iken $q$ yanlış olduğunda yanlıştır.

  • $p$ önermesinin doğru olması için: $ x > 5 $ olmalıdır.
  • $q$ önermesinin yanlış olması için: $ -5 \le x \le 5 $ olmalıdır.

  Şimdi düşünelim: Hem $ x > 5 $ hem de $ -5 \le x \le 5 $ koşullarını aynı anda sağlayan bir $x$ gerçek sayısı var mıdır?

  Eğer bir $x$ sayısı 5'ten büyükse ($ x > 5 $), o sayı kesinlikle $ -5 $ ile $ 5 $ arasındaki kapalı aralıkta ($ -5 \le x \le 5 $) olamaz. Bu iki koşul birbiriyle çelişir, yani aynı anda gerçekleşemezler.

• 5. Adım: Sonuca Ulaşalım

  Yukarıdaki analizimizden anladık ki, $p$ önermesinin doğru olduğu ($ x > 5 $) ve $q$ önermesinin yanlış olduğu ($ -5 \le x \le 5 $) durum aynı anda hiçbir zaman gerçekleşmez. Bu, $ p \Rightarrow q $ gerektirmesinin yanlış olduğu durumun hiçbir zaman oluşmadığı anlamına gelir.

  Eğer $ p \Rightarrow q $ gerektirmesi hiçbir zaman yanlış olmuyorsa, o zaman her zaman doğrudur.

  Bu durumda, $ p \Rightarrow q $ gerektirmesi her $x$ gerçek sayısı için doğrudur.

Cevap A seçeneğidir.