A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c} kümeleri veriliyor. f: A → B fonksiyonu bire bir ve örten olduğuna göre kaç farklı f fonksiyonu tanımlanabilir?
A) 3Bu soruda, verilen kümeler arasında bire bir ve örten fonksiyon sayısını bulmamız istenmektedir. Çözümü adım adım inceleyelim:
Bize verilen kümeler $A = \{1, 2, 3\}$ ve $B = \{a, b, c\}$'dir. Her iki kümenin de eleman sayısı 3'tür ($|A| = |B| = 3$).
Fonksiyonumuz $f: A \rightarrow B$ şeklinde tanımlanacaktır. Bu, A kümesindeki her elemanın B kümesindeki bir elemanla eşleşeceği anlamına gelir.
Bire bir (injective) fonksiyon: A kümesindeki farklı elemanların B kümesindeki farklı elemanlara eşleşmesidir. Yani, $x_1 \neq x_2$ ise $f(x_1) \neq f(x_2)$ olmalıdır. Hiçbir iki A elemanı aynı B elemanına gidemez.
Örten (surjective) fonksiyon: B kümesindeki her elemanın A kümesindeki en az bir elemanla eşleşmesidir. Yani, B kümesinde açıkta (eşleşmemiş) eleman kalmamalıdır.
Önemli Not: Eğer iki kümenin eleman sayıları eşitse ($|A| = |B|$), bir fonksiyonun bire bir olması, aynı zamanda örten olmasını da garantiler. Dolayısıyla, bu soruda A'dan B'ye kaç farklı bire bir ve örten (yani bijektif) fonksiyon tanımlanabileceğini arıyoruz.
A kümesinin ilk elemanı olan $1$ için B kümesinde kaç farklı eşleşme seçeneği vardır?
$1$ elemanı, B kümesindeki $a$, $b$ veya $c$ elemanlarından herhangi biriyle eşleşebilir. Bu durumda, $f(1)$ için 3 farklı seçenek bulunmaktadır.
Örnek olarak, $f(1) = a$ olduğunu varsayalım.
A kümesinin ikinci elemanı olan $2$ için B kümesinde kaç farklı eşleşme seçeneği vardır?
Fonksiyonun bire bir olması gerektiği için, $2$ elemanı, $1$ elemanının eşleştiği elemanla eşleşemez.
Eğer $f(1) = a$ ise, $f(2)$ için B kümesinde kalan elemanlar $\{b, c\}$'dir. Bu durumda, $f(2)$ için 2 farklı seçenek bulunmaktadır.
Örnek olarak, $f(2) = b$ olduğunu varsayalım.
A kümesinin üçüncü elemanı olan $3$ için B kümesinde kaç farklı eşleşme seçeneği vardır?
Yine bire bir olma koşulu nedeniyle, $3$ elemanı, $1$ veya $2$ elemanlarının eşleştiği elemanlarla eşleşemez.
Eğer $f(1) = a$ ve $f(2) = b$ ise, $f(3)$ için B kümesinde kalan tek eleman $\{c\}$'dir. Bu durumda, $f(3)$ için 1 farklı seçenek bulunmaktadır.
Her adımda sahip olduğumuz seçenekleri çarparak toplam farklı bire bir ve örten fonksiyon sayısını buluruz.
Toplam fonksiyon sayısı = (1. eleman için seçenek sayısı) $\times$ (2. eleman için seçenek sayısı) $\times$ (3. eleman için seçenek sayısı)
Toplam fonksiyon sayısı = $3 \times 2 \times 1 = 6$.
Bu tür bir hesaplama, permütasyon olarak da bilinir ve $3!$ (3 faktöriyel) şeklinde gösterilir.
Bu durumda, A kümesinden B kümesine 6 farklı bire bir ve örten fonksiyon tanımlanabilir.
Cevap B seçeneğidir.
