Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, altı basamaklı bir sayının $12$ ile tam bölünebilme koşulunu kullanarak $E$ ve $F$ rakamlarının toplamının en büyük değerini bulacağız. Adım adım ilerleyelim ve bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- Adım 1: $12$ ile Bölünebilme Kuralını Anlayalım
- Bir sayı $12$ ile tam bölünebiliyorsa, o sayı hem $3$ ile hem de $4$ ile tam bölünebilmelidir. Bu iki kuralı ayrı ayrı inceleyerek $E$ ve $F$ için olası değerleri bulacağız.
- Adım 2: $4$ ile Bölünebilme Kuralını Uygulayalım
- Bir sayının $4$ ile tam bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının oluşturduğu sayının $4$'ün katı olması gerekir.
- Bizim sayımız $234E7F$. Bu sayının son iki basamağı $7F$.
- $F$ bir rakam olduğu için ($0$ ile $9$ arasında bir değer), $7F$ sayısının $4$'e bölünebilen değerlerini bulalım:
- $70$ bölünmez.
- $71$ bölünmez.
- $72$ sayısı $4$'e tam bölünür ($72 \div 4 = 18$). Bu durumda $F=2$ olabilir.
- $73, 74, 75$ bölünmez.
- $76$ sayısı $4$'e tam bölünür ($76 \div 4 = 19$). Bu durumda $F=6$ olabilir.
- $77, 78, 79$ bölünmez.
- Yani, $F$ rakamı sadece $2$ veya $6$ olabilir.
- Adım 3: $3$ ile Bölünebilme Kuralını Uygulayalım
- Bir sayının $3$ ile tam bölünebilmesi için, sayının basamaklarındaki rakamların toplamının $3$'ün katı olması gerekir.
- $234E7F$ sayısının rakamları toplamı: $2 + 3 + 4 + E + 7 + F = 16 + E + F$.
- Bu toplamın $3$'ün bir katı olması gerekiyor. Yani $16 + E + F \equiv 0 \pmod 3$.
- $16$ sayısının $3$'e bölümünden kalan $1$'dir ($16 = 3 \times 5 + 1$).
- Bu durumda, $1 + E + F \equiv 0 \pmod 3$ olmalıdır.
- Yani, $E + F$ toplamının $3$'e bölümünden kalan $2$ olmalıdır ($E + F \equiv 2 \pmod 3$).
- Adım 4: $E+F$ Toplamının En Büyük Değerini Bulalım
- Bizden $E+F$ toplamının en büyük değeri isteniyor. $E$ ve $F$ birer rakamdır ($0-9$).
- $F$ için olası değerler $2$ ve $6$ idi. $E$ için olası değerler $0$ ile $9$ arası tüm rakamlardır.
- $E+F$ toplamının alabileceği en büyük teorik değer $9$ (en büyük $E$) $+ 6$ (en büyük $F$) $= 15$'tir. Şimdi bu değeri ve daha küçük değerleri $E+F \equiv 2 \pmod 3$ koşuluyla kontrol edelim:
- $E+F = 15$ olabilir mi? $15 \equiv 0 \pmod 3$. Bu koşulu sağlamaz.
- $E+F = 14$ olabilir mi? $14 \equiv 2 \pmod 3$. Evet, bu koşulu sağlar.
- Eğer $F=6$ ise, $E+6=14 \implies E=8$.
$E=8$ geçerli bir rakamdır. $F=6$ da $4$'e bölünebilme koşulunu sağlıyordu.
Dolayısıyla, $(E,F)=(8,6)$ çifti tüm koşulları sağlar ve $E+F=14$ olur.
- $E+F = 13$ olabilir mi? $13 \equiv 1 \pmod 3$. Bu koşulu sağlamaz.
- $E+F = 12$ olabilir mi? $12 \equiv 0 \pmod 3$. Bu koşulu sağlamaz.
- $E+F = 11$ olabilir mi? $11 \equiv 2 \pmod 3$. Evet, bu koşulu sağlar.
- Eğer $F=6$ ise, $E+6=11 \implies E=5$.
$(E,F)=(5,6)$ çifti tüm koşulları sağlar ve $E+F=11$ olur.
- Eğer $F=2$ ise, $E+2=11 \implies E=9$.
$(E,F)=(9,2)$ çifti tüm koşulları sağlar ve $E+F=11$ olur.
- Yukarıdaki incelemeler sonucunda, $E+F$ toplamının alabileceği en büyük değer $14$'tür.
Cevap C seçeneğidir.
