9. Sınıf Grup İçi Toplam Tokalaşma Sayısını Hesaplama (Algoritma) Nasıl? Test 2

n kişinin bulunduğu bir grupta herkes birbiriyle tokalaştığında toplam tokalaşma sayısını veren formül aşağıdakilerden hangisidir?

A) n(n-1)
B) n(n+1)/2
C) n(n-1)/2
D) n²/2

Harika bir soru! Bu tür problemler, matematiksel düşünme becerilerimizi geliştirmek için çok faydalıdır. Gelin, bu soruyu adım adım ve mantıklı bir şekilde çözelim.

• Problemi Anlayalım:

  Tokalaşma, iki kişi arasında gerçekleşen bir eylemdir. Yani, bir tokalaşma için her zaman 2 kişiye ihtiyacımız var.

  Soruda "herkes birbiriyle tokalaştığında" ifadesi, her bir kişinin gruptaki diğer tüm kişilerle birer kez tokalaşması gerektiğini belirtir.

• Küçük Örneklerle Başlayalım (Keşif Yöntemi):

  Bu tür problemlerde, küçük sayılarla deneme yapmak, formülü bulmamıza yardımcı olan harika bir yöntemdir.

  • 1 kişi varsa ($n=1$): Kimseyle tokalaşamaz. Toplam tokalaşma sayısı = $0$.
  • 2 kişi varsa ($n=2$): Diyelim ki kişiler A ve B. A, B ile tokalaşır. Bu 1 tokalaşmadır. Toplam tokalaşma sayısı = $1$.
  • 3 kişi varsa ($n=3$): Diyelim ki kişiler A, B ve C.
    • A, B ile tokalaşır.
    • A, C ile tokalaşır.
    • B, C ile tokalaşır (B'nin A ile tokalaşması zaten sayıldı).

    Toplam tokalaşma sayısı = $3$.

  • 4 kişi varsa ($n=4$): Diyelim ki kişiler A, B, C ve D.
    • A, B, C, D ile tokalaşır (3 tokalaşma).
    • B, C, D ile tokalaşır (A ile tokalaşması zaten sayıldı) (2 tokalaşma).
    • C, D ile tokalaşır (A ve B ile tokalaşmaları zaten sayıldı) (1 tokalaşma).

    Toplam tokalaşma sayısı = $3 + 2 + 1 = 6$.

• Bir Örüntü Yakalayalım:
  • $n=1 \rightarrow 0$
  • $n=2 \rightarrow 1$
  • $n=3 \rightarrow 3$
  • $n=4 \rightarrow 6$

  Bu sayılar ($0, 1, 3, 6, ...$) üçgensel sayılar olarak bilinir. Bu örüntü, $1$'den $(n-1)$'e kadar olan sayıların toplamıdır: $1 + 2 + 3 + ... + (n-1)$.

• Formülü Türetelim (İki Yöntem):
  • Yöntem 1: Kombinasyon Kullanarak

    Bir tokalaşma için gruptan 2 kişi seçmemiz gerekir. Sıra önemli değildir (A'nın B ile tokalaşması ile B'nin A ile tokalaşması aynı şeydir). Bu, kombinasyon problemidir.

    $n$ kişiden 2 kişi seçme kombinasyonu $\binom{n}{2}$ şeklinde gösterilir ve formülü şöyledir:

    $\binom{n}{2} = \frac{n!}{2!(n-2)!}$

    Bu formülü açarsak:

    $\binom{n}{2} = \frac{n \times (n-1) \times (n-2)!}{2 \times 1 \times (n-2)!}$

    $(n-2)!$ ifadeleri sadeleşir ve geriye şu kalır:

    $\frac{n(n-1)}{2}$

  • Yöntem 2: Adım Adım Sayarak

    Gruptaki ilk kişi, diğer $n-1$ kişiyle tokalaşır.

    İkinci kişi, ilk kişiyle zaten tokalaştığı için, geriye kalan $n-2$ kişiyle tokalaşır.

    Üçüncü kişi, ilk iki kişiyle zaten tokalaştığı için, geriye kalan $n-3$ kişiyle tokalaşır.

    Bu böyle devam eder, ta ki son kişiye kadar. Son kişi (veya sondan bir önceki kişi) sadece bir kişiyle tokalaşır (eğer henüz tokalaşmamışsa).

    Toplam tokalaşma sayısı: $(n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 1$.

    Bu, ardışık sayıların toplamı formülüdür: $\frac{\text{son terim} \times (\text{son terim} + 1)}{2}$.

    Burada son terim $(n-1)$ olduğu için formülümüz:

    $\frac{(n-1) \times ((n-1)+1)}{2} = \frac{(n-1)n}{2}$ veya $\frac{n(n-1)}{2}$.

• Sonucu Kontrol Edelim:

  Bulduğumuz formül $n(n-1)/2$.

  Örneklerimizle test edelim:

  • $n=1 \rightarrow 1(1-1)/2 = 1 \times 0 / 2 = 0$. Doğru.
  • $n=2 \rightarrow 2(2-1)/2 = 2 \times 1 / 2 = 1$. Doğru.
  • $n=3 \rightarrow 3(3-1)/2 = 3 \times 2 / 2 = 3$. Doğru.
  • $n=4 \rightarrow 4(4-1)/2 = 4 \times 3 / 2 = 6$. Doğru.
• Seçenekleri İnceleyelim:
  • A) $n(n-1)$
  • B) $n(n+1)/2$
  • C) $n(n-1)/2$
  • D) $n^2/2$

  Bulduğumuz formül C seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap C seçeneğidir.