Bir doğal sayının 7'ye bölümünden kalan 3'tür. Buna göre bu sayının 5 katının 7'ye bölümünden kalan kaçtır?
A) 1Bu tür bölme ve kalan sorularını çözerken modüler aritmetik adı verilen pratik bir matematiksel yöntemi kullanmak işimizi çok kolaylaştırır. Şimdi soruyu adım adım inceleyelim:
Soruda bir doğal sayının (bu sayıya $N$ diyelim) 7'ye bölümünden kalanın 3 olduğu belirtiliyor. Bu durumu modüler aritmetik kullanarak şöyle ifade ederiz:
$N \equiv 3 \pmod{7}$
Bu ifade, $N$ sayısının 7 ile bölündüğünde 3 kalanını verdiğini gösterir. Örneğin, $N$ sayısı 3, 10, 17, 24 gibi sayılar olabilir.
Bizden bu sayının 5 katının (yani $5N$'nin) 7'ye bölümünden kalanı bulmamız isteniyor. Modüler aritmetik dilinde bu, $5N \pmod{7}$ ifadesinin sonucunu bulmak demektir.
Eğer $N \equiv 3 \pmod{7}$ ise, bu ifadenin her iki tarafını da 5 ile çarpabiliriz. Modüler aritmetikte bu işlem geçerlidir:
$5 \times N \equiv 5 \times 3 \pmod{7}$
$5N \equiv 15 \pmod{7}$
Şimdi $15 \pmod{7}$ ifadesinin sonucunu bulmamız gerekiyor. Yani 15 sayısının 7'ye bölümünden kalan kaçtır? Bunu bulmak için 15'i 7'ye böleriz:
$15 = 2 \times 7 + 1$
Gördüğümüz gibi, 15'in 7'ye bölümünden kalan 1'dir. Bu durumda:
$15 \equiv 1 \pmod{7}$
Dolayısıyla, $5N \equiv 1 \pmod{7}$ olur.
Bu, sayının 5 katının 7'ye bölümünden kalanın 1 olduğu anlamına gelir.
Cevap A seçeneğidir.
