Bir öğrenci, bölünebilme kurallarını kullanarak bir soruyu çözmektedir. 2a3b dört basamaklı sayısı 45 ile tam bölünebildiğine göre, a + b toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bölünebilme kurallarını kullanarak dört basamaklı bir sayının rakamları toplamının alabileceği en büyük değeri bulacağız. Adım adım ilerleyelim ve konuyu iyice pekiştirelim.
- 1. Adım: Bölünebilme Kurallarını Anlama
- Bir sayı $45$ ile tam bölünebiliyorsa, bu sayı $45$'in çarpanlarına da tam bölünmelidir. $45 = 5 \times 9$ olduğu için, $2a3b$ sayısı hem $5$'e hem de $9$'a tam bölünmelidir. Unutmayın, $5$ ve $9$ aralarında asal sayılardır, bu yüzden bu iki kuralı ayrı ayrı uygulayabiliriz.
- 2. Adım: $5$ ile Bölünebilme Kuralını Uygulama
- Bir sayının $5$ ile tam bölünebilmesi için birler basamağındaki rakamın ($b$) $0$ veya $5$ olması gerekir.
- Bu durumda, $b$ rakamı $0$ veya $5$ olabilir.
- 3. Adım: $9$ ile Bölünebilme Kuralını Uygulama
- Bir sayının $9$ ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamının $9$'un bir katı olması gerekir.
- $2a3b$ sayısının rakamları toplamı $2 + a + 3 + b = 5 + a + b$'dir.
- Yani, $5 + a + b$ ifadesi $9$'un bir katı olmalıdır.
- 4. Adım: $a$ ve $b$ Rakamlarının Sınırlarını Belirleme
- $a$ ve $b$ birer rakam olduğu için, alabilecekleri değerler $0, 1, 2, ..., 9$ arasındadır.
- Bu durumda, $a+b$ toplamının alabileceği en küçük değer $0+0=0$, en büyük değer ise $9+9=18$'dir.
- Yani, $0 \le a+b \le 18$.
- 5. Adım: $a+b$ Toplamının Olası Değerlerini Bulma
- $5 + a + b$ ifadesi $9$'un bir katı olmalıydı. $a+b$ yerine $S$ dersek, $5+S$ ifadesi $9$'un katı olmalıdır.
- $0 \le S \le 18$ olduğu için, $5 \le 5+S \le 23$ olur.
- Bu aralıktaki $9$'un katları sadece $9$ ve $18$'dir.
- Durum 1: $5+S = 9$ ise, $S = 4$. Yani $a+b=4$.
- $b$ rakamı $0$ veya $5$ olmalıydı.
- Eğer $b=0$ ise, $a+0=4 \implies a=4$. Bu geçerli bir rakamdır. Sayımız $2430$ olur. ($2430$ sayısı $45$'e tam bölünür: $2430 \div 45 = 54$)
- Eğer $b=5$ ise, $a+5=4 \implies a=-1$. Bu geçerli bir rakam değildir.
- Durum 2: $5+S = 18$ ise, $S = 13$. Yani $a+b=13$.
- $b$ rakamı $0$ veya $5$ olmalıydı.
- Eğer $b=0$ ise, $a+0=13 \implies a=13$. Bu geçerli bir rakam değildir.
- Eğer $b=5$ ise, $a+5=13 \implies a=8$. Bu geçerli bir rakamdır. Sayımız $2835$ olur. ($2835$ sayısı $45$'e tam bölünür: $2835 \div 45 = 63$)
- 6. Adım: $a+b$ Toplamının En Büyük Değerini Belirleme
- $a+b$ toplamının alabileceği olası değerler $4$ ve $13$'tür.
- Bu değerler arasında en büyüğü $13$'tür.
Cevap B seçeneğidir.
