Sevgili öğrenciler, bu soruda bir hareketlinin konum fonksiyonu verilmiş ve bizden hız fonksiyonunu bulmamız isteniyor. Konum ve hız arasındaki ilişkiyi hatırlayarak bu soruyu kolayca çözebiliriz.
- Öncelikle, bir hareketlinin hız fonksiyonu ($v(t)$), onun konum fonksiyonunun ($s(t)$) zamana göre türevi olduğunu bilmeliyiz. Yani, $v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt}$'dir.
- Bize verilen konum fonksiyonu $s(t) = t^3 - 4t^2 + 12t - 5$ şeklindedir. Şimdi bu fonksiyonun zamana göre türevini alalım.
- Türev alırken temel türev kurallarını hatırlayalım:
- Bir kuvvet fonksiyonunun türevi: $\frac{d}{dt}(t^n) = nt^{n-1}$
- Bir sabitin türevi: $\frac{d}{dt}(c) = 0$
- Sabit çarpımın türevi: $\frac{d}{dt}(cf(t)) = c \cdot f'(t)$
- Toplam/Farkın türevi: $\frac{d}{dt}(f(t) \pm g(t)) = f'(t) \pm g'(t)$
- Şimdi $s(t)$ fonksiyonunun her bir teriminin ayrı ayrı türevini alalım:
- Birinci terim: $t^3$
- Kuvvet kuralını uygulayarak: $\frac{d}{dt}(t^3) = 3t^{3-1} = 3t^2$.
- İkinci terim: $-4t^2$
- Sabit çarpım ve kuvvet kuralını uygulayarak: $\frac{d}{dt}(-4t^2) = -4 \cdot \frac{d}{dt}(t^2) = -4 \cdot (2t^{2-1}) = -4 \cdot (2t) = -8t$.
- Üçüncü terim: $12t$
- Sabit çarpım ve kuvvet kuralını uygulayarak: $\frac{d}{dt}(12t) = 12 \cdot \frac{d}{dt}(t^1) = 12 \cdot (1t^{1-1}) = 12 \cdot (1t^0) = 12 \cdot 1 = 12$.
- Dördüncü terim: $-5$
- Bir sabitin türevi sıfırdır: $\frac{d}{dt}(-5) = 0$.
- Şimdi bulduğumuz bu türevleri bir araya getirelim. Hız fonksiyonu $v(t)$, bu terimlerin toplamı olacaktır:
$v(t) = 3t^2 - 8t + 12 + 0$
$v(t) = 3t^2 - 8t + 12$
- Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneğinde verilen ifade ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
