Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir dairenin yarıçapı zamanla değişirken, alan fonksiyonunun türevini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Dairenin Alan Formülünü Hatırlayalım:
- Bir dairenin alanı, yarıçapı $r$ olmak üzere $A = \pi r^2$ formülü ile bulunur.
- 2. Alan Fonksiyonunu Zaman ($t$) Cinsinden Yazalım:
- Soruda yarıçapın zamanla değişimi $r(t) = 2t + 3$ olarak verilmiş. Bu ifadeyi alan formülündeki $r$ yerine koyarsak, alan fonksiyonunu zaman $t$ cinsinden elde ederiz:
- $A(t) = \pi (r(t))^2$
- $A(t) = \pi (2t + 3)^2$
- 3. Alan Fonksiyonunun Türevini ($A'(t)$) Alalım:
- Şimdi $A(t) = \pi (2t + 3)^2$ fonksiyonunun $t$'ye göre türevini almamız gerekiyor. Burada "zincir kuralı"nı kullanacağız. Zincir kuralı, iç içe geçmiş fonksiyonların türevini alırken kullanılır. Genel olarak, eğer $y = f(g(x))$ ise, $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ olur.
- Bizim durumumuzda, dış fonksiyon $f(u) = \pi u^2$ ve iç fonksiyon $u = g(t) = 2t + 3$ diyebiliriz.
- Önce dış fonksiyonun türevini alalım: $f'(u) = \frac{d}{du}(\pi u^2) = 2\pi u$.
- Sonra iç fonksiyonun türevini alalım: $g'(t) = \frac{d}{dt}(2t + 3) = 2$.
- Şimdi zincir kuralını uygulayalım: $A'(t) = f'(g(t)) \cdot g'(t)$
- $A'(t) = (2\pi (2t + 3)) \cdot (2)$
- 4. İfadeyi Sadeleştirelim:
- Elde ettiğimiz türev ifadesini düzenleyelim:
- $A'(t) = 4\pi (2t + 3)$
- Parantezi dağıtırsak:
- $A'(t) = 4\pi \cdot 2t + 4\pi \cdot 3$
- $A'(t) = 8\pi t + 12\pi$
Bu sonuç, seçeneklerdeki A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
