Parçalı Doğrusal Fonksiyonlar: Tanımı ve Grafik Çizimi Test 2

$$ f(x) = \begin{cases} x^2-4, & x\leq 1 \\ kx+2, & x>1 \end{cases} $$
fonksiyonu $x=1$ noktasında sürekli olduğuna göre, $k$ kaçtır?

A) -5
B) -3
C) 3
D) 5

Bir fonksiyonun belirli bir noktada sürekli olabilmesi için üç temel şartı sağlaması gerekir. Bu şartlar $x=a$ noktasında sürekli bir $f(x)$ fonksiyonu için şunlardır:

• $f(a)$ tanımlı olmalıdır. (Fonksiyonun o noktadaki değeri mevcut olmalıdır.)
• $\lim_{x \to a} f(x)$ limiti mevcut olmalıdır. (Sol limit ve sağ limit birbirine eşit olmalıdır.)
• $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ olmalıdır. (Limit değeri, fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olmalıdır.)

Şimdi bu şartları, verilen $f(x)$ fonksiyonu ve $x=1$ noktası için adım adım uygulayalım:

• 1. $f(1)$ değerini bulalım:

  Fonksiyonun tanımına göre, $x \leq 1$ olduğunda $f(x) = x^2-4$ kuralını kullanırız. Bu durumda $x=1$ için:

  $f(1) = (1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$

  Görüldüğü gibi $f(1)$ değeri tanımlıdır ve $-3$'e eşittir.

• 2. $x=1$ noktasındaki limitin varlığını inceleyelim:

  Bir noktadaki limitin var olması için sol limitin sağ limite eşit olması gerekir. Yani $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$ olmalıdır.

  • Sol limit ($\lim_{x \to 1^-} f(x)$):

    $x < 1$ olduğunda $f(x) = x^2-4$ kuralını kullanırız.

    $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2-4) = (1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$

  • Sağ limit ($\lim_{x \to 1^+} f(x)$):

    $x > 1$ olduğunda $f(x) = kx+2$ kuralını kullanırız.

    $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (kx+2) = k(1) + 2 = k+2$

  Limitin var olması için sol limitin sağ limite eşit olması gerektiğinden:

  $-3 = k+2$

• 3. Limit değeri ile fonksiyon değerini eşitleyelim:

  Fonksiyonun sürekli olması için $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ olmalıdır. Biz $f(1) = -3$ bulmuştuk ve limitin var olması için de $-3 = k+2$ eşitliğini sağlamamız gerektiğini belirledik. Bu iki şart zaten aynı denkleme götürüyor.

• 4. $k$ değerini bulalım:

  Elde ettiğimiz denklemi çözerek $k$ değerini bulabiliriz:

  $-3 = k+2$

  $k = -3 - 2$

  $k = -5$

Bu durumda, fonksiyonun $x=1$ noktasında sürekli olması için $k$ değerinin $-5$ olması gerekmektedir.

Cevap A seçeneğidir.