Üçgende Açıortayın Oluşturduğu Açılar Nedir? Test 2

ABC üçgeninde [BD] iç açıortay, [CD] dış açıortaydır. m(BDC) = 30° ve m(ACB) = 40° olduğuna göre m(ABC) kaç derecedir?

A) 50
B) 60
C) 70
D) 80

Bu soruda, bir üçgende iç açıortay ve dış açıortayların oluşturduğu açılar arasındaki ilişkiyi kullanarak bilinmeyen bir açıyı bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Verilen Bilgileri Anlayalım ve Açılarımızı Tanımlayalım:

  ABC üçgeninde $m(\angle ACB) = 40^\circ$ olarak verilmiş.

  [BD] doğru parçası, $\angle ABC$ açısının iç açıortayıdır. Bu, $\angle ABC$ açısını iki eşit parçaya böldüğü anlamına gelir. Bu eşit parçalardan her birine $\beta$ diyelim. Yani $m(\angle ABD) = m(\angle DBC) = \beta$. Bu durumda, $m(\angle ABC) = 2\beta$ olur.

  [CD] doğru parçası, C köşesindeki dış açının açıortayıdır. Bu, C köşesindeki dış açıyı iki eşit parçaya böler.

  $m(\angle BDC) = 30^\circ$ olarak verilmiş.

• 2. C Köşesindeki Dış Açıyı ve Dış Açıortayın Oluşturduğu Açıyı Bulalım:

  Bir üçgende herhangi bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı her zaman $180^\circ$'dir.

  $m(\angle ACB) = 40^\circ$ olduğuna göre, C köşesindeki dış açı $180^\circ - m(\angle ACB) = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$'dir.

  [CD] bu dış açının açıortayı olduğuna göre, dış açıyı iki eşit parçaya böler. Dolayısıyla, $m(\angle ACD) = 140^\circ / 2 = 70^\circ$'dir. (Burada $D$ noktası, $AC$ kenarının uzantısı üzerinde değildir, $CD$ doğru parçası $C$ köşesinden çıkan dış açıortaydır ve $AC$ kenarı ile $70^\circ$ açı yapar.)

• 3. BCD Üçgenindeki Açıyı Bulalım:

  Şimdi BCD üçgenine odaklanalım. Bu üçgenin iç açıları $m(\angle DBC)$, $m(\angle BCD)$ ve $m(\angle BDC)$'dir.

  $m(\angle DBC) = \beta$ olarak tanımlamıştık.

  $m(\angle BDC) = 30^\circ$ olarak verilmiş.

  $m(\angle BCD)$ açısı, $m(\angle BCA)$ ile $m(\angle ACD)$ açılarının toplamıdır.

  $m(\angle BCD) = m(\angle BCA) + m(\angle ACD) = 40^\circ + 70^\circ = 110^\circ$'dir.

• 4. BCD Üçgeninde Açı Toplamını Kullanarak $\beta$ Değerini Bulalım:

  Bir üçgenin iç açılarının toplamı $180^\circ$'dir. BCD üçgeni için bu kuralı uygulayalım:

  $m(\angle DBC) + m(\angle BCD) + m(\angle BDC) = 180^\circ$

  $\beta + 110^\circ + 30^\circ = 180^\circ$

  $\beta + 140^\circ = 180^\circ$

  $\beta = 180^\circ - 140^\circ$

  $\beta = 40^\circ$

• 5. Son Olarak $m(\angle ABC)$ Açısını Bulalım:

  Başlangıçta $m(\angle ABC) = 2\beta$ olarak tanımlamıştık.

  $\beta = 40^\circ$ olduğuna göre, $m(\angle ABC) = 2 \times 40^\circ = 80^\circ$'dir.

Cevap B seçeneğidir.