Dört basamaklı bir $N$ doğal sayısının birbirinden farklı asal çarpanları sadece 2, 3 ve 5'tir. Bu sayı aynı zamanda 4 ile tam bölünebildiğine göre, $N$'nin alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 1200
B) 1500
C) 1800
D) 2400
Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek, dört basamaklı sayıların asal çarpanlarını ve bölünebilme kurallarını nasıl kullanacağımızı öğreneceğiz.
Öncelikle soruyu dikkatlice okuyalım. $N$ sayısı dört basamaklı bir doğal sayı ve asal çarpanları sadece 2, 3 ve 5'tir. Ayrıca, $N$ sayısı 4 ile tam bölünebilmektedir. Bizden istenen, $N$'nin alabileceği en küçük değerdir.
- Adım 1: Sayının genel formunu belirleme
$N$ sayısının asal çarpanları sadece 2, 3 ve 5 olduğundan, $N$ sayısı $2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ şeklinde yazılabilir. Burada $a$, $b$ ve $c$ birer doğal sayıdır.
- Adım 2: 4 ile bölünebilme kuralını uygulama
$N$ sayısı 4 ile bölünebildiğine göre, $N$ sayısı $2^2$ ile de bölünebilmelidir. Bu durumda, $a \ge 2$ olmalıdır.
- Adım 3: Dört basamaklı olma şartını sağlama
$N$ sayısı dört basamaklı olduğuna göre, $N \ge 1000$ olmalıdır.
- Adım 4: En küçük değeri bulma
Şimdi $a$, $b$ ve $c$ değerlerini belirleyerek $N$'nin en küçük değerini bulmaya çalışalım. $a \ge 2$ olduğunu biliyoruz. $a=2$ alalım. Daha sonra $b$ ve $c$ değerlerini deneyerek 1000'e en yakın sonucu elde etmeye çalışacağız.
- Eğer $b=0$ ve $c=0$ ise, $N = 2^2 = 4$. Bu dört basamaklı değil.
- Eğer $b=0$ ise, $N = 2^2 \cdot 5^c = 4 \cdot 5^c$. $c$ değerini artırarak dört basamaklı bir sayı elde etmeye çalışalım.
- $c=1$ için $N = 4 \cdot 5 = 20$
- $c=2$ için $N = 4 \cdot 25 = 100$
- $c=3$ için $N = 4 \cdot 125 = 500$
- $c=4$ için $N = 4 \cdot 625 = 2500$
$c=4$ için $N=2500$ elde ettik. Bu bir aday olabilir.
- Eğer $b=1$ ise, $N = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^c = 12 \cdot 5^c$. $c$ değerini artırarak dört basamaklı bir sayı elde etmeye çalışalım.
- $c=0$ için $N = 12 \cdot 1 = 12$
- $c=1$ için $N = 12 \cdot 5 = 60$
- $c=2$ için $N = 12 \cdot 25 = 300$
- $c=3$ için $N = 12 \cdot 125 = 1500$
$c=3$ için $N=1500$ elde ettik. Bu da bir aday olabilir.
- Eğer $b=2$ ise, $N = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^c = 36 \cdot 5^c$. $c$ değerini artırarak dört basamaklı bir sayı elde etmeye çalışalım.
- $c=0$ için $N = 36 \cdot 1 = 36$
- $c=1$ için $N = 36 \cdot 5 = 180$
- $c=2$ için $N = 36 \cdot 25 = 900$
- $c=3$ için $N = 36 \cdot 125 = 4500$
$c=3$ için $N=4500$ elde ettik.
Bulduğumuz adaylar 2500, 1500 ve 4500. Bunlardan en küçüğü 1500'dür.
- Adım 5: Daha küçük bir değer olup olmadığını kontrol etme
$a=3$ alalım. Bu durumda $N = 2^3 \cdot 3^b \cdot 5^c = 8 \cdot 3^b \cdot 5^c$ olur.
- $b=0$ için $N = 8 \cdot 5^c$.
- $c=3$ için $N = 8 \cdot 125 = 1000$. Ancak $a \ge 2$ şartını sağlamalıydık ve $N$'nin farklı asal çarpanları olmalı. Bu yüzden $2^3$ yerine $2^2$ kullanmalıyız.
- $b=1$ için $N = 8 \cdot 3 \cdot 5^c = 24 \cdot 5^c$.
- $c=2$ için $N = 24 \cdot 25 = 600$
- $c=3$ için $N = 24 \cdot 125 = 3000$
$a=4$ alalım. Bu durumda $N = 2^4 \cdot 3^b \cdot 5^c = 16 \cdot 3^b \cdot 5^c$ olur.
- $b=0$ için $N = 16 \cdot 5^c$.
- $c=2$ için $N = 16 \cdot 25 = 400$
- $c=3$ için $N = 16 \cdot 125 = 2000$
- $b=1$ için $N = 16 \cdot 3 \cdot 5^c = 48 \cdot 5^c$.
- $c=2$ için $N = 48 \cdot 25 = 1200$
Bu durumda $N=1200$ elde ettik. $1200 = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^2$. Asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir ve 4 ile bölünebilir. Ayrıca dört basamaklıdır.
Sonuç olarak, $N$'nin alabileceği en küçük değer 1200'dür.
Cevap A seçeneğidir.
