Bir fonksiyonun x = 2 noktasında türevi sıfır ve bu noktanın solunda türev pozitif, sağında türev negatiftir. Buna göre bu fonksiyon için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) x = 2'de yerel minimum vardır
B) x = 2'de yerel maksimum vardır
C) Fonksiyon x = 2'de artandan azalana geçer
D) Fonksiyon x = 2'de azalandan artana geçer
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, bir fonksiyonun türevinin işaretlerinin bize fonksiyonun davranışı hakkında nasıl bilgi verdiğini anlamamız gerekiyor. Adım adım inceleyelim:
-
1. Türevin İşareti ve Fonksiyonun Davranışı Arasındaki İlişki:
- Eğer bir aralıkta fonksiyonun türevi pozitifse ($f'(x) > 0$), o aralıkta fonksiyon artandır. Yani, $x$ değeri arttıkça $f(x)$ değeri de artar.
- Eğer bir aralıkta fonksiyonun türevi negatifse ($f'(x) < 0$), o aralıkta fonksiyon azalandır. Yani, $x$ değeri arttıkça $f(x)$ değeri azalır.
- Eğer bir noktada fonksiyonun türevi sıfırsa ($f'(x) = 0$), o nokta bir kritik noktadır. Bu nokta, fonksiyonun yerel maksimum, yerel minimum veya büküm noktası olabileceği anlamına gelir.
-
2. Sorudaki Bilgileri Yorumlama:
- Soruda, fonksiyonun $x = 2$ noktasında türevinin sıfır olduğu belirtiliyor: $f'(2) = 0$. Bu, $x = 2$'nin bir kritik nokta olduğunu gösterir.
- $x = 2$ noktasının solunda türev pozitif: $x < 2$ için $f'(x) > 0$. Bu bilgiye göre, fonksiyon $x = 2$ noktasına kadar artandır.
- $x = 2$ noktasının sağında türev negatif: $x > 2$ için $f'(x) < 0$. Bu bilgiye göre, fonksiyon $x = 2$ noktasından sonra azalandır.
-
3. Fonksiyonun $x = 2$ Noktasındaki Genel Davranışı:
- Fonksiyon $x = 2$'ye kadar artıyor, $x = 2$'de bir "zirveye" ulaşıyor ve ardından $x = 2$'den sonra azalmaya başlıyor.
- Bu durum, fonksiyonun $x = 2$ noktasında artandan azalana geçtiğini açıkça göstermektedir.
-
4. Seçenekleri Değerlendirme:
- A) $x = 2$'de yerel minimum vardır: Yanlış. Yerel minimum, fonksiyonun azalandan artana geçtiği noktada oluşur.
- B) $x = 2$'de yerel maksimum vardır: Doğru. Fonksiyon artandan azalana geçtiği için bu noktada bir yerel maksimum vardır.
- C) Fonksiyon $x = 2$'de artandan azalana geçer: Doğru. Bu ifade, türevin işaret değişiminden doğrudan elde ettiğimiz fonksiyon davranışını tam olarak açıklamaktadır.
- D) Fonksiyon $x = 2$'de azalandan artana geçer: Yanlış. Bu durum yerel minimumu ifade ederdi.
-
5. Neden C Seçeneği Doğru Cevaptır?
- Hem B hem de C seçeneği, verilen bilgilerle uyumlu doğru ifadelerdir. Ancak C seçeneği, türevin işaret değişiminin doğrudan bir sonucu olarak fonksiyonun $x = 2$ noktasındaki davranışsal geçişini ifade eder. Yerel maksimum (B seçeneği) ise bu davranışsal geçişin bir sonucudur, yani fonksiyonun artandan azalana geçmesi durumunda ortaya çıkan bir özelliktir. Soruda "hangisi doğrudur" denildiğinde, türev işaretlerinden doğrudan çıkan davranışsal geçişi ifade eden C seçeneği, fonksiyonun o noktadaki hareketini en temel ve açıklayıcı şekilde ifade eder.
Cevap C seçeneğidir.
