Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek trigonometrik özdeşlikleri nasıl kullanacağımızı görelim. Amacımız, verilen bilgiyi kullanarak istenen ifadenin değerini bulmaktır.
- Adım 1: İstenen İfadeyi Tanımlama ve Sadeleştirme
- Bize sorulan ifade $ \cos^4 x - \sin^4 x $ şeklindedir. Bu ifadeyi daha basit bir hale getirmek için cebirsel özdeşliklerden faydalanabiliriz.
- Hatırlayalım ki, $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ iki kare farkı özdeşliğidir.
- Burada $ a = \cos^2 x $ ve $ b = \sin^2 x $ olarak düşünebiliriz.
- O zaman, $ \cos^4 x - \sin^4 x = (\cos^2 x)^2 - (\sin^2 x)^2 $ yazabiliriz.
- İki kare farkı özdeşliğini uyguladığımızda, bu ifade $ (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) $ şeklini alır.
- Adım 2: Trigonometrik Özdeşlikleri Uygulama
- Şimdi elde ettiğimiz $ (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) $ ifadesindeki çarpanlara bakalım.
- Birinci çarpan $ \cos^2 x + \sin^2 x $ temel trigonometrik özdeşliklerden biridir ve her zaman $ 1 $'e eşittir. Yani, $ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $.
- İkinci çarpan $ \cos^2 x - \sin^2 x $ ise yarım açı formüllerinden biridir ve $ \cos 2x $'e eşittir. Yani, $ \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x $.
- Bu özdeşlikleri yerine koyduğumuzda, $ \cos^4 x - \sin^4 x = (\cos 2x)(1) $ olur.
- Yani, $ \cos^4 x - \sin^4 x = \cos 2x $ sonucuna ulaşırız.
- Adım 3: Verilen Bilgiyi Kullanarak Sonucu Bulma
- Soruda bize $ \cos 2x = \frac{1}{3} $ olduğu bilgisi verilmişti.
- Biz de $ \cos^4 x - \sin^4 x $ ifadesini $ \cos 2x $ olarak bulduk.
- O halde, $ \cos^4 x - \sin^4 x = \frac{1}{3} $ olur.
Cevap B seçeneğidir.
